2002年高考数学真题（ 江苏自主命题）.doc

2002年江苏高考数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数的最小正周期是　　 A． B． C． D． 2．（5分）圆的圆心到直线的距离是　　 A． B． C．1 D． 3．（5分）不等式的解集是　　 A． B．且 C． D．且 4．（5分）在内，使成立的的取值范围是　　 A．，， B．， C．， D．，， 5．（5分）已知集合，，，，则　　 A． B． C． D． 6．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是　　 A． B． C． D． 7．（5分）函数是奇函数的充要条件是　　 A． B． C． D． 8．（5分）已知，则有　　 A． B． C． D． 9．（5分）函数　　 A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 10．（5分）极坐标方程与的图形是　　 A． B． C． D． 11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有　　 A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长”，如果“十五”期间年年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为　　 A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）椭圆的一个焦点是，那么　　． 14．（4分）在的展开式中的系数是　 　． 15．（4分）已知 ，，则　 　． 16．（4分）已知函数，那么　 　． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知复数，求实数，使． 18．（12分）设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出及的前10项的和及． 19．（12分）四棱锥的底面是边长为的正方形，平面． （1）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于． 20．（12分）设、是双曲线上的两点，点是线段的中点． 求直线的方程 如果线段的垂直平分线与双曲线相交于、两点，那么、、、四点是否共圆？为什么？ 21．（12分）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图，要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 22．（14分）已知，函数． （1）当时，若对任意都有，证明； （2）当时，证明：对任意，，的充要条件是； （3）当时，讨论：对任意，，的充要条件． 参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数的最小正周期是　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数，所以函数的最小正周期为： 故选：． 2．（5分）圆的圆心到直线的距离是　　 A． B． C．1 D． 【解答】解：由得：圆心， 所以根据点到直线的距离公式得： ． 故选：． 3．（5分）不等式的解集是　　 A． B．且 C． D．且 【解答】解：求不等式的解集 则分两种情况讨论： 情况即： 则：． 情况即： 则： 两种情况取并集得且． 故选：． 4．（5分）在内，使成立的的取值范围是　　 A．，， B．， C．， D．，， 【解答】解：， ， ， 在内， ， 故选：． 5．（5分）已知集合，，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于的元素，有，其分子为的奇数倍； 对于的元素，有，其分子为的整数倍； 分析易得，； 故选：． 6．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的半径为，高为，母线与轴所成角为，则圆锥的高 圆锥的体积 半球的体积 即： 故选：． 7．（5分）函数是奇函数的充要条件是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据奇函数的定义可知 对任意恒成立 ，，故选 8．（5分）已知，则有　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 故选：． 9．（5分）函数　　 A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【解答】解：是向右平移1个单位而得到， 故在上为增函数， 在上为增函数． 故选：． 10．（5分）极坐标方程与的图形是　　 A． B． C． D． 【解答】解：两边同乘以得 利用，，，进行化简得 与 表示，为圆心，为半径的圆， 表示直线 故选：． 11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有　　 A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共种不同的取法， 而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种， 则选法共有种； 故选：． 12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长”，如果“十五”期间年年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为　　 A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元 【解答】解：根据题意，有， 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）椭圆的一个焦点是，那么　1　． 【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：， 因为焦点坐标为，所以长半轴在轴上， 则，解得． 故答案为：1． 14．（4分）在的展开式中的系数是　1008　． 【解答】解：的展开式中的系数等于展开式的的系数加上展开式的的系数 展开式的通项为 令，得故展开式的的系数为 令得故展开式的的系数为 故展开式中的系数是 故答案为：1008． 15．（4分）已知 ，，则　　． 【解答】解： ，， ，，或（舍去）， ，， 故答案为：． 16．（4分）已知函数，那么　　． 【解答】解：， （2），（3），（4），（1） 故答案为： 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知复数，求实数，使． 【解答】解：， 因为，都是实数， 所以由 得 两式相加，整理得 解得， 对应得， 所求实数为，或， 18．（12分）设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出及的前10项的和及． 【解答】解：为等差数列，为等比数列， ， 已知，， ， 得 由，知的公差为， ， 由，知的公比为或． 当时，， 当时，． 19．（12分）四棱锥的底面是边长为的正方形，平面． （1）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于． 【解答】解（1）平面，是在面上的射影， 是面与面所成二面角的平面角， 而是四棱锥的高， 证明：（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形． 作，垂足为，连接，则． ，，故是面与面所成的二面角的平面角． 设与相交于点，连接，则． 在中， 所以，面与面所成的二面角恒大于 20．（12分）设、是双曲线上的两点，点是线段的中点． 求直线的方程 如果线段的垂直平分线与双曲线相交于、两点，那么、、、四点是否共圆？为什么？ 【解答】解：依题意，记，，，， 可设直线的方程为， 代入，整理得① ，则是方程①的两个不同的根， 所以，且， 由是的中点得， ， 解得， 所以直线的方程为 将代入方程①得 解出， 由得，． 即、的坐标分别为和． 由垂直平分， 得直线的方程为， 即． 代入双曲线方程，整理得．② 记，，，，以及的中点为，， 则，是方程②的两个根．所以，． 从而，； 又 即、、、四点到点的距离相等，所以、、、四点共圆． 21．（12分）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图，要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 【解答】解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥． 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． （2）依上面剪拼方法，有． 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为2， 那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为． 现在计算它们的高：，． 所以． （3）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱． 22．（14分）已知，函数． （1）当时，若对任意都有，证明； （2）当时，证明：对任意，，的充要条件是； （3）当时，讨论：对任意，，的充要条件． 【解答】（1）证明：根据题设，对任意，都有． 又．， ，， ． （2）证明：必要性：对任意，，． 据此可推出（1），即， ． 对任意，，， 因为，可得，可推出，即， ， ． 充分性：因为，，对任意，， 可以推出，即， 因为，对任意，， 可以推出：，即， ． 综上，当时，对任意，，的充要条件是． （3）解：因为，时，对任意，有，即； （1），即， 又，即． 所以，当，时，对任意，，的充要条件是． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/27 22:57:29；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156