2014年高考数学真题（理科）（新课标Ⅰ）（解析版）.doc

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（共12小题，每小题5分） 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（　　） A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　） A． B．3 C．m D．3m 5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　） A． B． C． D． 8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　） A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题： p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（　　） A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　） A． B．3 C． D．2 11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　） A．6 B．6 C．4 D．4 　 二、填空题（共4小题，每小题5分） 13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为　 　．（用数字填写答案） 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为　 　． 15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为　 　． 16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　 　． 　 三、解答题 17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ （Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2． （i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：≈12.2． 若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1； （Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值． 20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2． （Ⅰ）求a、b； （Ⅱ）证明：f（x）＞1． 　 选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形． 　 选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 　 选修4-5：不等式选讲 24．若a＞0，b＞0，且+=． （Ⅰ）求a3+b3的最小值； （Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 　 2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共12小题，每小题5分） 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（　　） A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1] 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可． 【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0， 解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， ∵B=[﹣2，2）， ∴A∩B=[﹣2，﹣1]． 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i， 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误， |f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误， f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确． |f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 　 4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　） A． B．3 C．m D．3m 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论． 【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为， ∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0， ∴点F到C的一条渐近线的距离为=． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题． 　 5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况， ∴所求概率为=． 故选：D． 【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 　 6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择． 【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|， ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx| =|cosx|•|sinx|=|sin2x|， 其周期为T=，最大值为，最小值为0， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　） A． B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2； 第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3； 第三次循环M=+=，a=，b=，n=4． 不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=． 故选：D． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　） A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求． 【解答】解：由tanα=，得： ， 即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin（α﹣β）=cosα=sin（）， ∵α∈（0，），β∈（0，）， ∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题． 　 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题： p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（　　） A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑． 【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可． 【解答】解：作出图形如下： 由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域， p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立； p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确； p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误； p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误； 综上所述，p1、p2正确； 故选：C． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题． 　 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　） A． B．3 C． D．2 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求． 【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d， ∵=4， ∴|PQ|=3d， ∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2， ∵F（2，0）， ∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2）， 与y2=8x联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可． 【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1， ∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立； ②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点； 而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值； 故f（）=﹣3•+1＞0； 故a＜﹣2； 综上所述， 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D． 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题． 　 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　） A．6 B．6 C．4 D．4 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可． 【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4， ∴．AC==6，AD=4， 显然AC最长．长为6． 故选：B． 【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力． 　 二、填空题（共4小题，每小题5分） 13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为　﹣20　．（用数字填写答案） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5P：二项式定理． 【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可． 【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8． 含x2y6的系数是28， ∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣20 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． 　 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为　A　． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】5M：推理和证明． 【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论． 【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A． 【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题． 　 15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为　90°　． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论． 【解答】解：在圆中若=（+）， 即2=+， 即+的和向量是过A，O的直径， 则以AB，AC为邻边的四边形是矩形， 则⊥， 即与的夹角为90°， 故答案为：90° 【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形． 【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc， 又因为：a=2， 所以：， △ABC面积， 而b2+c2﹣a2=bc ⇒b2+c2﹣bc=a2 ⇒b2+c2﹣bc=4 ⇒bc≤4 所以：，即△ABC面积的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 　 三、解答题 17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ （Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出； （Ⅱ）假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1， ∴an+1（an+2﹣an）=λan+1 ∵an+1≠0， ∴an+2﹣an=λ． （Ⅱ）解：假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d． 则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ∴． ∴，， ∴λSn=1+=， 根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4． 此时可得，an=2n﹣1． 因此存在λ=4，使得{an}为等差数列． 【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 　 18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2． （i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：≈12.2． 若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出； （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据； （ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得． 【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为： =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200， s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150． （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826； （ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826， 依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1； （Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值． 【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5H：空间向量及应用． 【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1； （2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值． 【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO， ∵侧面BB1C1C为菱形， ∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点， 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO， ∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO， 又B10=CO，∴AC=AB1， （2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB， ∴OA，OB，OB1两两垂直， 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度， 的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系， ∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC， ∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0） ∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0）， 设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量， 则，可取=（1，，）， 同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，）， ∴cos＜，＞==， ∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为 【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题． 　 20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程． 【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又， 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分） （Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2） 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时， 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=， 设，则t＞0，， 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2． （Ⅰ）求a、b； （Ⅱ）证明：f（x）＞1． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max； 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=+， 由题意可得f（1）=2，f′（1）=e， 故a=1，b=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+， ∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴lnx＞﹣， ∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx， ∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0． 故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣． 设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）． ∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0， 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣． 综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1． 【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力． 　 选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形． 【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E； （Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上， ∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E， 由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE为等边三角形． 【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 　 选修4-5：不等式选讲 24．若a＞0，b＞0，且+=． （Ⅰ）求a3+b3的最小值； （Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值． （Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=， ∴=+≥2，∴ab≥2， 当且仅当a=b=时取等号． ∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号， ∴a3+b3的最小值为4． （Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号． 而由（1）可知，2≥2=4＞6， 故不存在a，b，使得2a+3b=6成立． 【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．