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2014
年高
考真题
数学
山东
解析
2014高考数学山东【理】
一、选择题
1.已知,是虚数单位,若与互为共轭复数,则( )
A. B. C. D.
2.设集合,,则( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为 ( )
A. B. C. D.
4.用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程没有实根 B.方程至多有一个实根
C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根
5.已知实数满足(),则下列关系式恒成立的是( )
A. B. C. D.
6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C.2 D.4
7.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,,,,,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,......,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A.1 B.8 C.12 D.18
8.已知函数,,若有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时,的最小值为( )
A.5 B.4 C. D.2
10.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.执行右面的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值为 ;开始
输入x
是
结束
否
输出n
12.在中,已知,当时,的面积为 ;
13.三棱锥中,,分别为,的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则 ;
14.若的展开式中项的系数为,则的最小值为 ;
15.已知函数.对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点,关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是 ;
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.(本小题满分12分)
已知向量,,设函数,且的图象过点和点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调增区间.
17.(本小题满分12分)
如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若垂直于平面且,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.
18.(本小题满分12分)
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,
甲上有两个不相交的区域,乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在上记3分,在上记1分,其它情况记0分.对落点在上的来球,小明回球的落点在上的概率为,在上的概率为;对落点在上的来球,小明回球的落点在上的概率为,在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
(Ⅰ)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.
19.(本小题满分12分)
已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列的前项和.
20.(本小题满分13分)
设函数(为常数,是自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.
21.(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学参考答案
一.1、D 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、B 10、A
二.11、 12、 13、 14、 15、
三.16、解:(Ⅰ)已知 ,
的图像过点
,
解得
(Ⅱ),
设的对称轴为,解得
,解得
的单调赠区间
17、解:(Ⅰ)证明:因为四边形是等腰梯形,
且
所以,又由是中点,
因此且.
连接
在四棱柱中,
因为,
可得
所以四边形为平行四边形
因此
又,,
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面过向做垂线交于,连接,
由,可得,故为二面角的平面角
在中,
所以
在中,,
所以平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为.
18、解:(Ⅰ)设恰有一次的落点在乙上为事件
(Ⅱ)的可能取值为
,
的分布列为
0
1
2
3
4
6
P
其数学期望为
19、解:(Ⅰ)
成等比数列
解得
(Ⅱ)
当为偶数时,
当为奇数时,
20、解:(Ⅰ)
当时,
令,则
当时,单调递减;
当时,单调递增.
(Ⅱ)令
则
当时,恒成立,上单调递增,不符合题意.
当时
令,
综上:的取值范围为.
21、解:(Ⅰ)当的横坐标为时,过作轴于,
为等边三角形
又
,,
(Ⅱ)(ⅰ)设,
又与相切,设切点,
, ,
即恒过点直线过定点.
(ⅱ),
即
点到的距离
,当且仅当时,“”成立.
选择填空解析
2014年全国统一高考(山东)理科真题及详解
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的选项。
1. 已知是虚数单位,若与互为共轭复数,则
(A) (B) (C) (D)
答案:D
解析:与互为共轭复数,
2. 设集合则
(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)
答案:C
解析:
3. 函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
答案:C
解析:
或
或。
4. 用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是
(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根
(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根
5. 已知实数满足,则下列关系式恒成立的是
(A) (B) (C) (D)
答案:D
解析:
,排除A,B,对于C ,是周期函数,排除C。
6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
(A)(B)(C)2(D)4
答案:D
解析:
,
第一象限
7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为
(A) (B) (C) (D)
答案:C
解析:第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
答案:B
解析:画出的图象最低点是,过原点和时斜率最小为,斜率最大时的斜率与的斜率一致。
9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时,的最小值为
(A)(B)(C)(D)
答案:B
解析:求得交点为,则,即圆心到直线的距离的平方。
10.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为
(A)(B)(C)(D)
答案:A
解析:
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,答案须填在题中横线上。
11. 执行下面的程序框图,若输入的的值为1,
则输出的的值为。
答案:3
解析:根据判断条件,得,
输入
第一次判断后循环,
第二次判断后循环,
第三次判断后循环,
第四次判断不满足条件,退出循环,输出
12. 在中,已知,当时,的面积为。
答案:
解析:由条件可知,
当,
13. 三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则。
答案:
解析:分别过向平面做高,由为的中点得,
由为的中点得,所以
14. 若的展开式中项的系数为20,则的最小值为。
答案:2
解析:将展开,得到,令.
由,得,所以.
15. 已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为函数,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是。
答案:
解析:根据图像分析得,当与在第二象限相切时,
,由恒成立得.