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2014年高考真题数学【理】(山东卷)(含解析版).doc
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2014 年高 考真题 数学 山东 解析
2014高考数学山东【理】 一、选择题 1.已知,是虚数单位,若与互为共轭复数,则( ) A. B. C. D. 2.设集合,,则( ) A. B. C. D. 3.函数的定义域为 ( ) A. B. C. D. 4.用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程没有实根 B.方程至多有一个实根 C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根 5.已知实数满足(),则下列关系式恒成立的是( ) A. B. C. D. 6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A. B. C.2 D.4 7.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,,,,,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,......,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( ) A.1 B.8 C.12 D.18 8.已知函数,,若有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时,的最小值为( ) A.5 B.4 C. D.2 10.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.执行右面的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值为 ;开始 输入x 是 结束 否 输出n 12.在中,已知,当时,的面积为 ; 13.三棱锥中,,分别为,的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则 ; 14.若的展开式中项的系数为,则的最小值为 ; 15.已知函数.对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点,关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是 ; 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分12分) 已知向量,,设函数,且的图象过点和点. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调增区间. 17.(本小题满分12分) 如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若垂直于平面且,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值. 18.(本小题满分12分) 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图, 甲上有两个不相交的区域,乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在上记3分,在上记1分,其它情况记0分.对落点在上的来球,小明回球的落点在上的概率为,在上的概率为;对落点在上的来球,小明回球的落点在上的概率为,在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (Ⅰ)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)令,求数列的前项和. 20.(本小题满分13分) 设函数(为常数,是自然对数的底数). (Ⅰ)当时,求函数的单调区间; (Ⅱ)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围. 21.(本小题满分14分) 已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点, (ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 参考答案 2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学参考答案 一.1、D 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、B 10、A 二.11、 12、 13、 14、 15、 三.16、解:(Ⅰ)已知 , 的图像过点 , 解得 (Ⅱ), 设的对称轴为,解得 ,解得 的单调赠区间 17、解:(Ⅰ)证明:因为四边形是等腰梯形, 且 所以,又由是中点, 因此且. 连接 在四棱柱中, 因为, 可得 所以四边形为平行四边形 因此 又,, 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面过向做垂线交于,连接, 由,可得,故为二面角的平面角 在中, 所以 在中,, 所以平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为. 18、解:(Ⅰ)设恰有一次的落点在乙上为事件 (Ⅱ)的可能取值为 , 的分布列为 0 1 2 3 4 6 P 其数学期望为 19、解:(Ⅰ) 成等比数列 解得 (Ⅱ) 当为偶数时, 当为奇数时, 20、解:(Ⅰ) 当时, 令,则 当时,单调递减; 当时,单调递增. (Ⅱ)令 则 当时,恒成立,上单调递增,不符合题意. 当时 令, 综上:的取值范围为. 21、解:(Ⅰ)当的横坐标为时,过作轴于, 为等边三角形 又 ,, (Ⅱ)(ⅰ)设, 又与相切,设切点, , , 即恒过点直线过定点. (ⅱ), 即 点到的距离 ,当且仅当时,“”成立. 选择填空解析 2014年全国统一高考(山东)理科真题及详解 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的选项。 1. 已知是虚数单位,若与互为共轭复数,则 (A) (B) (C) (D) 答案:D 解析:与互为共轭复数, 2. 设集合则 (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案:C 解析: 3. 函数的定义域为 (A) (B) (C) (D) 答案:C 解析: 或 或。 4. 用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 (C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根 5. 已知实数满足,则下列关系式恒成立的是 (A) (B) (C) (D) 答案:D 解析: ,排除A,B,对于C ,是周期函数,排除C。 6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 (A)(B)(C)2(D)4 答案:D 解析: , 第一象限 7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 (A) (B) (C) (D) 答案:C 解析:第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 (A)(B)(C)(D) 答案:B 解析:画出的图象最低点是,过原点和时斜率最小为,斜率最大时的斜率与的斜率一致。 9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时,的最小值为 (A)(B)(C)(D) 答案:B 解析:求得交点为,则,即圆心到直线的距离的平方。 10.已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为 (A)(B)(C)(D) 答案:A 解析: 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,答案须填在题中横线上。 11. 执行下面的程序框图,若输入的的值为1, 则输出的的值为。 答案:3 解析:根据判断条件,得, 输入 第一次判断后循环, 第二次判断后循环, 第三次判断后循环, 第四次判断不满足条件,退出循环,输出 12. 在中,已知,当时,的面积为。 答案: 解析:由条件可知, 当, 13. 三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则。 答案: 解析:分别过向平面做高,由为的中点得, 由为的中点得,所以 14. 若的展开式中项的系数为20,则的最小值为。 答案:2 解析:将展开,得到,令. 由,得,所以. 15. 已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为函数,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是。 答案: 解析:根据图像分析得,当与在第二象限相切时, ,由恒成立得.

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