2012年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)若复数z满足为虚数单位)，则为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i　　　(D)－3－5i (2)已知全集，集合，，则为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} (3)函数的定义域为 (A) (B) (C) (D) (4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数　　　(B)平均数　　　(C)中位数　　　(D)标准差 (5)设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是 (A)p为真　　　(B)为假　　　　(C)为假　　　(D)为真 (6)设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是 (A)　　　(B)　　　(C)　　　(D) (7)执行右面的程序框图，如果输入＝4，那么输出的n的值为 (A)2　　　(B)3　　　(C)4　　　(D)5 (8)函数的最大值与最小值之和为 (A)　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D) (9)圆与圆的位置关系为 (A)内切　　(B)相交　　(C)外切　　(D)相离 (10)函数的图象大致为 (11)已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 (A) 　(B) 　　(C)　　(D)[来源:Z_xx_k.Com] (12)设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是 (A)　　　　(B) (C)　　　　(D) 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. (13)如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿. (14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿. (15)若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿. (16)如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为＿＿＿＿. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分) 在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (Ⅰ)求证：成等比数列； (Ⅱ)若，求△的面积S. (18)(本小题满分12分) 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. (19) (本小题满分12分) 如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，. (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点， 求证：∥平面. (20) (本小题满分12分) 已知等差数列的前5项和为105，且. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和. (21) (本小题满分13分) 如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程； (Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值. (22) (本小题满分13分) 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求的单调区间； (Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.[来源:学科网ZXXK] 参考答案： 一、选择题： (1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B (12)解：设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B. 二、填空题 (13)　以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故.[来源:Zxxk.Com] (14)9　最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. (15)　当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. (16) 三、解答题 (17)(I)由已知得： ， ， ， 再由正弦定理可得：， 所以成等比数列. (II)若，则， ∴， ， ∴△的面积. (18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为. (19)(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，， 又已知，所以平面OCE. 所以，即OE是BD的垂直平分线， 所以. (II)取AB中点N，连接， ∵M是AE的中点，∴∥， ∵△是等边三角形，∴. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即， 所以ND∥BC， 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. (20)(I)由已知得： 解得, 所以通项公式为. (II)由，得， 即. ∵， ∴是公比为49的等比数列， ∴. (21)(I)……① 矩形ABCD面积为8，即……② 由①②解得：， ∴椭圆M的标准方程是. (II)， 设，则， 由得. . 当过点时，，当过点时，. ①当时，有，[来源:学科网] ， 其中，由此知当，即时，取得最大值. ②由对称性，可知若，则当时，取得最大值. ③当时，，， 由此知，当时，取得最大值. 综上可知，当和0时，取得最大值. (22)(I)， 由已知，，∴. (II)由(I)知，. 设，则，即在上是减函数， 由知，当时，从而， 当时，从而. 综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是. (III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立. 当时，＞1，且，∴. 设，，则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值. 所以. 综上，对任意，. [来源:学,科,网]