2018年高考数学真题（文科）（新课标Ⅰ）（解析版）.doc

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）设z=+2i，则|z|=（　　） A．0 B． C．1 D． 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（　　） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　） A．12π B．12π C．8π D．10π 6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　） A．﹣ B．﹣ C．+ D．+ 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（　　） A．8 B．6 C．8 D．8 11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（　　） A． B． C． D．1 12．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=　 　． 14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　 　． 15．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=　 　． 16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　 　． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=． （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式． 18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积． 19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7） 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） 频数 1 5 13 10 16 5 （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图； （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 20．（12分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN． 21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1． （1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程； （2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 　 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 　 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合． 【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可． 【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}， 则A∩B={0，2}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查． 　 2．（5分）设z=+2i，则|z|=（　　） A．0 B． C．1 D． 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． 【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i， 则|z|=1． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（　　） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑． 【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果． 【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a． A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0， 故建设后，种植收入增加，故A项错误． B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a， 建设前，其他收入为4%a， 故10%a÷4%a=2.5＞2， 故B项正确． C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a， 建设前，养殖收入为30%a， 故60%a÷30%a=2， 故C项正确． D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 （30%+28%）×2a=58%×2a， 经济收入为2a， 故（58%×2a）÷2a=58%＞50%， 故D项正确． 因为是选择不正确的一项， 故选：A． 【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力． 　 4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0）， 可得a2﹣4=4，解得a=2， ∵c=2， ∴e===． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　 5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　） A．12π B．12π C．8π D．10π 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积． 【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R， 圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2， 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得：4R2=8，解得R=， 则该圆柱的表面积为：=12π． 故选：B． 【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查． 　 6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程． 【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数， 可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1， 曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x． 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 　 7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　） A．﹣ B．﹣ C．+ D．+ 【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用． 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， =﹣=﹣ =﹣×（+） =﹣， 故选：A． 【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题． 　 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质． 【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果． 【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2， =2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x， =4cos2x+sin2x， =3cos2x+1， =， =， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为， 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用． 　 9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可． 【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2． 故选：B． 【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（　　） A．8 B．6 C．8 D．8 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可． 【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2， AC1与平面BB1C1C所成的角为30°， 即∠AC1B=30°，可得BC1==2． 可得BB1==2． 所以该长方体的体积为：2×=8． 故选：C． 【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力． 　 11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（　　） A． B． C． D．1 【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1=，从而|cosα|=，进而|tanα|=||=|a﹣b|=．由此能求出结果． 【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=， ∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=， ∴|cosα|=，∴|sinα|==， |tanα|=||=|a﹣b|===． 故选：B． 【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 12．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0） 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可． 【解答】解：函数f（x）=，的图象如图： 满足f（x+1）＜f（2x）， 可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0， 解得x∈（﹣∞，0）． 故选：D． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=　﹣7　． 【考点】3T：函数的值；53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1， 可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查． 　 14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　6　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z， 由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大， 最大值为z=3×2=6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键． 　 15．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=　2　． 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可． 【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2， 圆心到直线的距离为：=， 所以|AB|=2=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力． 　 16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　　． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． bsinC+csinB=4asinBsinC， 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC， 由于0＜B＜π，0＜C＜π， 所以sinBsinC≠0， 所以sinA=， 则A= 由于b2+c2﹣a2=8， 则：， ①当A=时，， 解得bc=， 所以． ②当A=时，， 解得bc=﹣（不合题意），舍去． 故：． 故答案为：． 【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=． （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式． 【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项． （2）利用定义说明数列为等比数列． （3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式． 【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an， 则：（常数）， 由于， 故：， 数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列． 整理得：， 所以：b1=1，b2=2，b3=4． （2）数列{bn}是为等比数列， 由于（常数）； （3）由（1）得：， 根据， 所以：． 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用． 　 18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC=A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC； （2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=DA，可得三棱锥Q﹣ABP的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q﹣ABP的体积． 【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC， 又AB⊥DA．且AD∩AC=A， ∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC； （2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3， ∴BP=DQ=DA=2， 由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC， ∴三棱锥Q﹣ABP的体积V= =××==1． 【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7） 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） 频数 1 5 13 10 16 5 （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图； （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率． （3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水． 【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表， 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图： （2）根据频率分布直方图得： 该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为： p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48． （3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为： （1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48， 使用节水龙头50天的日均用水量为： （1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35， ∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3． 【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 20．（12分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）当x=2时，代入求得M点坐标，即可求得直线BM的方程； （2）设直线l的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得kBN+kBM=0，即可证明∠ABM=∠ABN． 【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2， 所以M（2，2）或M（2，﹣2）， 直线BM的方程：y=x+1，或：y=﹣x﹣1． （2）证明：设直线l的方程为l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4=0， 即y1+y2=2t，y1y2=﹣4， 则有 kBN+kBM=+===0， 所以直线BN与BM的倾斜角互补， ∴∠ABM=∠ABN． 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1． （1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）=aex﹣，由x=2是f（x）的极值点，解得a=，从而f（x）=ex﹣lnx﹣1，进而f′（x）=，由此能求出f（x）的单调区间． （2）当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣，由此利用导数性质能证明当a≥时，f（x）≥0． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=aex﹣lnx﹣1． ∴x＞0，f′（x）=aex﹣， ∵x=2是f（x）的极值点， ∴f′（2）=ae2﹣=0，解得a=， ∴f（x）=ex﹣lnx﹣1，∴f′（x）=， 当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）证明：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1， 设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0， 当x＞1时，g′（x）＞0， ∴x=1是g（x）的最小值点， 故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0， ∴当a≥时，f（x）≥0． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程； （2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4． （2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点 （0，2）． 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2． 故：，或 解得：k=或0，（0舍去）或k=或0 经检验，直线与曲线C2没有公共点． 故C1的方程为：． 【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用． 　 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=， 由f（x）＞1， ∴或， 解得x＞， 故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞）， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即|ax﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜， ∴a＜ ∵＞2， ∴0＜a≤2， 故a的取值范围为（0，2]． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．