2014年高考数学真题（理科）（安徽自主命题）.docx

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。 参考公式： 如果事件A与B互斥，那么 如果事件A与B相互独立，那么 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设是虚数单位，表示复数的共轭复数，若=1+，则+·= （A）-2 （B）-2i （C）2 （D）2i （2）“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 （A）34 （B）55 （C）78 （D）89 （4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的参数方程是 (为参数)，圆的极坐标方程是,则直线被圆截得的弦长为 （A） （B）2 （C） （D）2 （5）x , y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为 （A） 或-1 （B）2或 （C）2或1 （D）2或-1 （6）设函数f(x)（x∈R）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x＜π时，f(x)=0，则= （A） （B） （C）0 （D） （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 （A） （B） （C）21 （D）18 （8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A）24对 （B）30对 （C）48对 （D）60对 （9）若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a 的值为 （A）5或8 （B）-1或5 （C）-1或 -4 （D）-4或8 （10）在平面直角坐标系中，已知向量a, b, |a|=|b| = 1 , a·b = 0,点Q满足=(a+b).曲线C={P| =acos+bsin,0＜2},区域={P|0＜r||R, r＜R}．若C∩为两段分离的曲线，则 （A）1＜r＜R＜3 （B）1＜r＜3≤R （C）r≤1＜R＜3 （D）1＜r＜3＜R 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则 的最小正值是 　　　　. （12）数列是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= . （13）设a≠0，ｎ是大于１的自然数，的展开式为若点(=0,1,2)的位置如图所示，则a=　　　　　　　． （14）若F1，F2分别是椭圆E：（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为 . （15）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）. ①S有5个不同的值 ②若a⊥b，则Smin与无关 ③若a∥b，则Smin与无关 ④若，则Smin＞0 ⑤若，Smin=，则a与b的夹角为 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求的值. （17）（本小题满分 12 分） 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立。 （I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）． （18）（本小题满分 12 分） 设函数，其中． (Ⅰ)讨论在其定义域上的单调性； (Ⅱ)当时，求取得最大值和最小值时的的值. （19）（本小题满分 13 分） 如图，已知两条抛物线：（）和：（），过原点的两条直线和，与，分别交于，两点，与，分别交于，两点． （I）证明：∥； （Ⅱ）过作直线（异于，）与，分别交于，两点．记与的面积分别为与，求的值． （20）（本小题满分 13 分） 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD．四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC. 过A1，C，D 三点的平面记为，BB1与的交点为Q. （I）证明：Q为BB1的中点； （Ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD 的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小. （21）（本小题满分 13 分） 设实数，整数，. （I）证明：当且时，； （Ⅱ）数列满足，，证明：． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）试题参考答案 一．选择题 （1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A 二．填空题 （11） （12）1 （13）3 （14） （15）②④ 三．解答题 （16）（本小题满分12分） （Ⅰ）因为，所以． 由正、余弦定理得 ． 因为，，所以，． （Ⅱ）由余弦定理得． 由于，所以． 故 （17）（本小题满分 12 分） 用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，则，，=1，2，3，4，5． （Ⅰ） （Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5． ， ， ． 故的分布列为 2 3 4 5 ． (18)（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）的定义域为， 令，得 所以 当或时，；当时，． 故在和内单调递减，在内单调递增． （Ⅱ）因为，所以 ． ①当时，，由（Ⅰ）知，在上单调递增， 所以在和处分别取得最小值和最大值． ②当时，， 由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值． 又，所以 当时，在处取得最小值； 当时，在和处同时取得最小值； 当时，在处取得最小值． (19)（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证：设直线，的方程分别为，（，≠0），则 由得 ， 由得， 同理可得，． 所以， ． 故，所以∥ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∥，同理可得∥，∥， 所以∽， 因此． 又由（Ⅰ）中的知， 故． （20）（本小题满分13分） （Ⅰ）证：因为∥，∥，∩=，∩=， 所以平面∥平面， 从而平面与这两个平面的交线相互平行，即∥， 故与的对应边相互平行，于是∽， 所以，即是的中点． （Ⅱ）解：如图1，连接，，设，梯形ABCD的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则． 图1 ， ， 所以=+=， 又， 所以=- =- =， 故． （Ⅲ） 解法1 如图1，在中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E， 又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A． 所以DE⊥平面AEA1，于是DE⊥A1E． 所以∠AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角． 因为BC∥AD，AD=2BC，所以． 又因为梯形ABCD的面积为6，DC=2，所以，AE=4． 于是，． 故平面与底面ABCD所成二面角的大小为． 解法2 如图2，以D为原点，,分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系． 设． 因为，所以， 从而，． 所以，． 设平面的法向量， 由 得，， 所以． 又因为平面ABCD的法向量， 所以， 故平面与底面ABCD所成二面角的大小为． （21）（本小题满分13分） （Ⅰ）证：用数学归纳法证明 ①当时，，原不等式成立． ②假设时，不等式成立， 当时， ． 所以时，原不等式也成立． 综合①②可得，当时，对一切整数，不等式均成立． （Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明． ①当时，由题设知成立． ②假设（）时，不等式成立． 由易知，． 当时，． 由得． 由（Ⅰ）中的结论得， ． 因此，即. 所以时，不等式也成立． 综合①、②可得，对一切正整数，不等式均成立． 再由可得，即． 综上所述，． 证法2：设，则，并且 ． 由此可得，在[)上单调递增， 因而，当时，． ①当时，由，即可知 ，并且， 从而． 故当时，不等式成立． ②假设（）时，不等式成立，则 当时，，即有． 所以，时，原不等式也成立． 综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立．