2014年高考数学真题（文科）（广东自主命题）.doc

2014年广东高考文科数学真题及答案 一、选择题 1. 已知集合 A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A.（-2，1） B.（2，-1） C.（2，0） D.（4，3） 4. 若变量满足约束条件，则的最大值等于（ ） A.7 B.8 C.10 D.11 5. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ） A.50 B.40 C.25 D.20 7. 在中，角所对应的边分别为，则“”是“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 8. 若实数满足，则曲线与曲线的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 9. 若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C.与既不垂直也不平行 D. 与的位置关系不确定 10. 对任意复数，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，有如下四个命题： ① ②； ③ ④； 则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 (一)必做题（11-13） 11. 曲线在点（0，-2）处的切线方程为______________________ 12. 从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为__________________ 13. 等比数列的各项均为正数，且，则 ________. 14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线与交点的直角坐标为____________________ 15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形中，点在上，且，与交于点，则=____________ 三、 解答题 16.(本小题满分12分) 已知函数，且 （1） 求的值； （2） 若，求 17. 某车间20名工人年龄数据如下表: （1）求这20名工人年龄的众数与极差； （2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差。 18. 如图2，四边形ABCD为矩形，，，做如图3折叠：折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后，点叠在线段上的点记为，并且。 （1）证明： （2）求三棱锥的体积。 19. 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数，有 20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。 21. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）当时，试讨论是否存在，使得 参考答案 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11. 12. 13. 5 14. （1，2） 15. 3 16.(本小题满分12分) 解： （1） （2）由（1）得： 17.解： （1）这20名工人年的众数为30，极差为40-19=21 （2）茎叶图如下: 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0 （3）年龄的平均数为： 故这20名工人年龄的方差为： =12.6 18.（1）证明： 又 （2）解： 又易知 从而 ，即 19.解： （1）令，得：， 即， ，所以，即 （2）由，得 ， ，从而， 所以，当时， 又， （3）当时， 20.解： （1） 所以，椭圆的标准方程为： （2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个， 它们的坐标分别为， 若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为， 即，将之代入椭圆方程中，并整理得： ， 依题意， 即： 即： 因为两切线相互垂直，所以，即 所以，显然这四点也满足以上方程， 所以，点的轨迹方程为： 21.解： （1），方程的判别式， 所以，当时，，此时在上为增函数； 当时，方程的两根为 当时，，此时为增函数； 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数； 综上时，在上为增函数； 当时，的单调递增区间为， 的单调递减区间为 （2） 所以，若存在，使得， 必须在上有解， 方程的两根为， 因为，所以只能是 依题意，，即 所以，即 又由，得，故欲使满足题意的存在，则 所以，当时，存在唯一的满足 当时，不存在使得