2013年高考数学真题（理科）（天津自主命题）.doc

2013年天津高考理科数学试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式: ·如果事件A, B互斥, 那么 ·棱柱的体积公式V=Sh， 其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高. ·如果事件A, B相互独立, 那么 ·球的体积公式 其中R表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 (A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③ (5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC中, 则 = (A) (B) (C) (D) (7) 函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (8) 已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分. 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = . (10) 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = . (12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 . (13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 . (14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; (Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. (16) (本小题满分13分) 一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. (17) (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值. (Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. (18) (本小题满分13分) 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. (19) (本小题满分14分) 已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. (20) (本小题满分14分) 已知函数. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有 .