2017年高考数学真题（文科）（天津自主命题）.docx

绝密★启用前 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)． ·棱柱的体积公式V=Sh. ·圆锥的体积公式. 其中S表示棱柱的底面面积， 其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高． h表示棱柱的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，则 （A）（B）（C）（D） 【答案】 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】，则， ，则， 据此可知：“”是“”的必要二不充分条件. 本题选择B选项. （3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A）（B）（C）（D） 【答案】 （4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为 （A）0 （B）1（C）2（D）3 【答案】 【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下： 首先初始化数值为， 第一次循环：，不满足； 第二次循环：，不满足； 第三次循环：，满足； 此时跳出循环体，输出. 本题选择C选项. （5）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 （A）（B）（C）（D） 【答案】 （6）已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为 （A）（B）（C）（D） 【答案】 【解析】由题意：， 且：， 据此：， 结合函数的单调性有：， 即. 本题选择C选项. （7）设函数，其中.若且的最小正周期大于，则 （A）（B）（C）（D） 【答案】 （8）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 （A）（B）（C）（D）zx xk 【答案】 【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方， 当时，函数图象如图所示，排除C,D选项； 当时，函数图象如图所示，排除B选项， 本题选择A选项. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 . 【答案】 【解析】为实数， 则. （10）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 . 【答案】 【解析】，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为. （11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】 【解析】设正方体边长为，则 ， 外接球直径为. （12）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 . 【答案】 （13）若a，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 ，当且仅当时取等号. （14）在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 . 【答案】 【解析】 ,则 . 三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分） 在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 【答案】(1) (2) . （16）（本小题满分13分） 某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 【答案】(1)见解析（2）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【解析】（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分： 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. （17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，. （I）求异面直线与所成角的余弦值； （II）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) （Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得. 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. （18）（本小题满分13分） 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 【答案】（1）..（2）. 由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为. （Ⅱ）设数列的前项和为，由，有 ， ， 上述两式相减，得 . 得. 所以，数列的前项和为. （19）（本小题满分14分）设，.已知函数，. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：在处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围. 【答案】（1）递增区间为，，递减区间为.（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是. 【解析】（I）由，可得 （ii）因为，，由，可得. 又因为，，故为的极大值点，由（I）知. 另一方面，由于，故， 由（I）知在内单调递增，在内单调递减， 故当时，在上恒成立，从而在上恒成立. 由，得，。 令，，所以， 令，解得（舍去），或. 因为，，，故的值域为. 所以，的取值范围是. （20）（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为. （I）求椭圆的离心率； （II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为. （i）求直线的斜率； （ii）求椭圆的方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ） 得，即点Q的坐标为. 由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为. 这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线. 因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得. 所以，椭圆的方程为.