2009年高考数学真题（理科）（四川自主命题）.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学 第Ⅰ卷 本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 其中表示球的半径 如果事件相互独立，那么 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题： 1. 设集合则 Ａ.　Ｂ.　　Ｃ.　Ｄ. ２.已知函数连续，则常数的值是 Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ ３.复数的值是 Ａ.－１　 Ｂ.１　 　　　Ｃ.－ Ｄ. 4.已知函数，下面结论错误的是 A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数 5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 Ａ.　　 Ｂ.平面 C. 直线∥平面 Ｄ. 6.已知为实数，且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则= A. B. C .0 D. 4 8.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D. 9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. D. 10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A.0 B. C.1 D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13.的展开式的常数项是 （用数字作答） 14.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，则 ②对，则是平面上的线性变换； ③若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 （I）求的值； （II）若，求的值。 18. （本小题满分12分） 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。 （I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。 19（本小题满分12分） 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形， （I）求证：； （II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角的大小。 20（本小题满分12分） 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。 21. （本小题满分12分） 已知函数。 （I）求函数的定义域，并判断的单调性； （II）若 （III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。 22. （本小题满分14分） 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列的通项公式； （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有； （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。 2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学参考答案 （1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A （13） -20 （14）4 （15） （16）①②③ 1.设集合则 Ａ.　Ｂ.　　Ｃ.　Ｄ. 【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。 解析：由题，故选择C。 ２.已知函数连续，则常数的值是 Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。 解析：由题得，故选择B。 ３.复数的值是 Ａ.－１　 Ｂ.１　 　　　Ｃ.－ Ｄ. 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。 解析：，故选择A。 4.已知函数，下面结论错误的是 A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数 【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4） 解：，其中A、C显然正确，故选择D。 5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 Ａ.　　 Ｂ.平面 、C. 直线∥平面 Ｄ. 【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6） 解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于， 因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。 6.已知为实数，且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7） 解析：推不出；但，故选择B。 7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则= A. B. C .0 D. 4 【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8） 解析：由题知，故， ∴，故选择C。 8.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D. 【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9） 解析：由知截面圆的半径 ，故，所以两点的球面距离为，故选择B。 9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. D. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。 10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10） 解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即 已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。 11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。 解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A.0 B. C.1 D. 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12） 解析：令，则；令，则 由得，所以 ，故选择A。 13.的展开式的常数项是 （用数字作答） 【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13） 解析：由题知的通项为，令得，故常数项为。 14.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w 【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。 解析：由题知，且，又，所以有，∴。 15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。 解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则 ，故填写。 法2：取BC中点N，连结，则面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。 16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，则 ②对设，则是平面上的线性变换； ③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 【考点定位】本小题考查新定义，创新题。 解析：令，由题有，故①正确； 由题，，即 ，故②正确； 由题，，即 ，故③不正确； 由题，，即也共线，故④正确； 三、解答题 （17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。 解：（Ⅰ）、为锐角，， 又， ，， …………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,. 由正弦定理得 ，即， ， ， ……………………………………12分 （18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。 …………………………………………………………6分 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3 , ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以， ……………………12分 （19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一： （Ⅰ）因为平面⊥平面,平面， 平面平面， 所以⊥平面 所以⊥. 因为为等腰直角三角形， ， 所以 又因为， 所以， 即⊥, 所以⊥平面。 ……………………………………4分 （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°. 设AB=1,则AE=1,AF=. FG=AF·sinFAG= 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, GH=BG·sinGBH=·= 在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 解法二: (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB. 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而，. 所以,,. ,. 所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因为BE平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=, 于是·=·=0 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM∥平面BCE. ………………………………8分 (Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。 取平面ABD的一个法向量为。 。 故二面角F—BD—A的大小为arccos。……………………………………12分 （20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 解：（Ⅰ）有条件有，解得。 。 所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知、。 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、， . ,与题设矛盾。 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。 设、， 联立，消y得。 由根与系数的关系知，从而， 又，， 。 。 化简得,解得 （21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解：（Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分） （Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1. 所以 （Ⅲ） 令 ① 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值 ② 当时，有两个实根 当x变化时，、的变化情况如下表所示： + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 的极大值为，的极小值为 ③ 当时，在定义域内有一个实根， 同上可得的极大值为 综上所述，时，函数有极值； 当时的极大值为，的极小值为 当时，的极大值为 （22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）当时， 又 数列成等比数列，其首项，公比是 ……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 = 又 当 当 . （Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设 则 > 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k， 当n为偶数时，设 则 < 当n为奇数时，设 则 < 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分