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2022
年高
数学
理科
全国
原卷版
绝密★启用前
2022年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1 若,则( )
A. B. C. D.
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3. 设全集,集合,则( )
A. B. C. D.
4. 如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
5. 函数在区间的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 当时,函数取得最大值,则( )
A. B. C. D. 1
7. 在长方体中,已知与平面和平面所成的角均为,则( )
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是的AB中点,D在上,.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:.当时,( )
A. B. C. D.
9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则( )
A. B. C. D.
10. 椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线的斜率之积为,则C的离心率为( )
A B. C. D.
11. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知,则( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 设向量,的夹角的余弦值为,且,,则_________.
14. 若双曲线的渐近线与圆相切,则_________.
15. 从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为________.
16. 已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时,________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 记为数列的前n项和.已知.
(1)证明:等差数列;
(2)若成等比数列,求的最小值.
18. 在四棱锥中,底面.
(1)证明:;
(2)求PD与平面所成的角的正弦值.
19. 甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
20. 设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,.
(1)求C的方程;
(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.
21. 已知函数.
(1)若,求a取值范围;
(2)证明:若有两个零点,则环.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),曲线的参数方程为(s为参数).
(1)写出的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线极坐标方程为,求与交点的直角坐标,及与交点的直角坐标.
[选修4-5:不等式选讲]
23. 已知a,b,c均为正数,且,证明:
(1);
(2)若,则.