2007年高考数学真题（文科）（天津自主命题）.doc

2007年天津高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　） Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14 （3） “”是“直线平行于直线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （4）设，，，则（ ） A． B． C． D． （5）函数的反函数是（ ） A． B． C． D． （6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A．若与所成的角相等，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 （7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （8）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 （9）设函数，则（ ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 （10）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％． （12）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）． （13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ． （14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　． （15）在中，，，是边的中点，则 ． （16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 在中，已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． （18）（本小题满分12分） 已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面， ，，是的中点． （Ⅰ）求和平面所成的角的大小； （Ⅱ）证明平面； （Ⅲ）求二面角的大小． （20）（本小题满分12分） 在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． （21）（本小题满分14分） 设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值； （Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立． （22）（本小题满分14分） 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则． 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11） （12） （13） （14） （15） （16） 三、解答题 （17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：在中，，由正弦定理， ． 所以． （Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是 ， ， ． ． （18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且 ，， 故取出的4个球均为红球的概率是 ． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且 ，． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为 ． （19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故． 又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角． 在中，，故． 所以和平面所成的角的大小为． （Ⅱ）证明：在四棱锥中， 因底面，平面，故． 由条件，，面． 又面，． 由，，可得． 是的中点，， ．综上得平面． （Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，可得．设，可得 ，，，． 在中，，，则 ． 在中，． 所以二面角的大小． （20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设，得 ，． 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为 ． 所以数列的前项和． （Ⅲ）证明：对任意的， ． 所以不等式，对任意皆成立． （21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． （Ⅰ）解：当时，，得，且 ，． 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ． 令，解得或． 由于，以下分两种情况讨论． （1）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且 ； 函数在处取得极大值，且 ． （2）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且 ； 函数在处取得极大值，且 ． （Ⅲ）证明：由，得，当时， ，． 由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使， 只要 即 　　　　　　　　① 设，则函数在上的最大值为． 要使①式恒成立，必须，即或． 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立． （22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中 ，由于点在椭圆上，有， ， 解得，从而得到， 直线的方程为，整理得 ． 由题设，原点到直线的距离为，即 ， 将代入原式并化简得，即． 证法二：同证法一，得到点的坐标为， 过点作，垂足为，易知，故 由椭圆定义得，又，所以 ， 解得，而，得，即． （Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为． 当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组 的解．当时，由①式得 代入②式，得，即 ， 于是， ． 若，则 ． 所以，．由，得．在区间内此方程的解为． 当时，必有，同理求得在区间内的解为． 另一方面，当时，可推出，从而． 综上所述，使得所述命题成立．