2012年高考数学真题（理科）（广东自主命题）.doc

2012年广东高考理科数学试题及答案 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i为虚数单位，则复数 A． B． C． D． 2．设集合，则 A． B． C． D． 3．若向量，，则 A． B． C． D． 4．下列函数中，在区间上为增函数的是 A． B C． D． 5．已知变量满足约束条件，则的最大值为 A．12 B．11 C．3 D．-1 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A． B． C． D． 7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A． B． C． D． 8．对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式的解集为___________． 10．的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 11．已知递增的等差数列满足，，则________． 12．曲线在点处的切线方程为__________． 13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的 参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为 ． A B C P O 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足，过点A做圆的切线与OC的延长线交与点P，则PA= ． 图3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数（其中）的最小正周期为． （1） 求的值； （2） 设，求的值． 17．（本小题满分13分） 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x的值; (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望． 18．（本小题满分13分） 如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面． （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正切值． 19．（本小题满分14分） 设数列的前项和为，满足，，且成等差数列． （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数，有． 20．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:的离心率，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C的方程 （2） 在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由． ） 21．（本小题满分14分） 设，集合，． （1） 求集合D（用区间表示）； （2） 求函数在D内的极值点． 参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC 填空题答案： 9. 10. 20 11. 12. 13. 8 14. 15. 解答题答案 16. （1） （2）代入得 ∵ ∴ ∴ 17. （1）由得 （2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量的可能取值有0,1,2 ∴ 18. （1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）设AC与BD交点为O，连 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 为二面角的平面角 ∵ ∴ ∴ ∴ 在， ∴ ∴ 二面角的平面角的正切值为3 19. （1）在中 令得： 令得： 解得：， 又 解得 （2）由 得 又也满足 所以成立 ∴ ∴ ∴ （3） （法一）∵ ∴ ∴ （法二）∵ ∴ 当时， ……… 累乘得： ∴ 20. （1）由得，椭圆方程为 椭圆上的点到点Q的距离 当①即,得 当②即,得（舍） ∴ ∴ 椭圆方程为 （2） 当，取最大值， 点O到直线距离 ∴ 又∵ 解得： 所以点M的坐标为 的面积为 21. （1）记 ① 当，即， ② 当， ③ 当， （2）由得 ① 当， ② 当，∵ ∴ ∴ ③ 当，则 又∵ ∴