2007年高考数学真题（文科）（安徽自主命题）.doc

2007年安徽高考文科数学真题及答案 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）若，则＝ （A） （B） （C） (D) （2）椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） （3）等差数列的前项和为若 （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 (4)下列函数中,反函数是其自身的函数为 (A) (B) (C) (D) (5)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为 (A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0 (6)设均为直线,其中在平面的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)图中的图象所表示的函数的解析式为 (A) (0≤x≤2) (B) (0≤x≤2) (C) (0≤x≤2) (D) (0≤x≤2) (8)设a＞1,且,则的大小关系为 (A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n (9)如果点P在平面区域上,点O在曲线最小值为 (A) (B) (C) (D) (10)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为 (A) (B) (C) (D) (11)定义在R上的函数f (x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f (x)=0在闭区[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为 (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)已知,则( 的值等于 . (13) 在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示） (14)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 . (15)函数的图象为C,如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号). ①图象C关于直线对称; ②图象C关于点对称; ③函数)内是增函数; ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分10分） 解不等式＞0. (17) （本小题满分14分） 如图,在六面体中,四边形ABCD是边 长为2的正方形,四边形是边长为1的正方 形,平面,平面ABCD, (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证:平面 (Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示). 第(17)题图 （18）（本小题满分14分） 　　　设F是抛物线G:x2=4y的焦点. 　　　（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程： （Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值. (19)(本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔. (Ⅰ)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率； 　（Ⅱ）求笼内至少剩下5只果蝇的概率. (20)(本小题满分14分) 设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R, 其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t). (Ⅰ)求g(t)的表达式； (Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值. （21）（本小题满分14分） 　　　某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为n(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. 　（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式； 　（Ⅱ）求证：Tn=An+Bn，其中是一个等比数列，是一个等差数列. 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12． 13． 14． 15．①②③ 三、解答题 16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分． 解：因为对任意，，所以原不等式等价于． 即，，，故解为． 所以原不等式的解集为． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）： A B C D 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则有． （Ⅰ）证明：． ． 与平行，与平行， 于是与共面，与共面． （Ⅱ）证明：，， ，． 与是平面内的两条相交直线． 平面． 又平面过． 平面平面． （Ⅲ）解：． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． A B C D ． 二面角的大小为． 解法2（综合法）： （Ⅰ）证明：平面，平面． ，，平面平面． 于是，． 设分别为的中点，连结， 有． ， 于是． 由，得， 故，与共面． 过点作平面于点， 则，连结， 于是，，． ，． ，． 所以点在上，故与共面． （Ⅱ）证明：平面，， 又（正方形的对角线互相垂直）， 与是平面内的两条相交直线， 平面． 又平面过，平面平面． （Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，， 根据三垂线定理，有． 过点在平面内作于，连结， 则平面， 于是， 所以，是二面角的一个平面角． 根据勾股定理，有． ，有，，，． ，， 二面角的大小为． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分． 解：（I）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为． 即． 因为点在切线上． 所以，，． 所求切线方程为． （II）设，． 由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设． 因直线过焦点，所以直线的方程为． 点的坐标满足方程组 得， 由根与系数的关系知 ． 因为，所以的斜率为，从而的方程为． 同理可求得． ． 当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为． 19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：以表示恰剩下只果蝇的事件． 以表示至少剩下只果蝇的事件． 可以有多种不同的计算的方法． 方法1（组合模式）：当事件发生时，第只飞出的蝇子是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以． 方法2（排列模式）：当事件发生时，共飞走只蝇子，其中第只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前只飞出的蝇子中有只是果蝇，有种不同的选择可能，还需考虑这只蝇子的排列顺序．所以． 由上式立得； ． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I）我们有 ． 由于，，故当时，达到其最小值，即 ． （II）我们有． 列表如下： 极大值 极小值 由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分． 解：（Ⅰ）我们有． （Ⅱ），对反复使用上述关系式，得 ， ① 在①式两端同乘，得 ② ②①，得 ． 即． 如果记，， 则． 其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．