2013年高考数学真题（理科）（四川自主命题）.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学 理工农医类(四川卷) 第Ⅰ卷(选择题　共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝(　　)． A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D． 2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)． A．A B．B C．C D．D 3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)． 4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A,2x∈B，则(　　)． A．p：x∈A,2xB B．p：xA,2xB C．p：xA,2x∈B D．p：x∈A,2xB 5．(2013四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)． A．2， B．2， C．4， D．4， 6．(2013四川，理6)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)． A． B． C．1 D． 7．(2013四川，理7)函数的图象大致是(　　)． 8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)． A．9 B．10 C．18 D．20 9．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)． A． B． C． D． 10．(2013四川，理10)设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是(　　)． A．[1，e] B．[e－1－1,1] C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1] 第Ⅱ卷(非选择题　共100分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝__________. 13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是__________． 14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________． 15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题： ①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和． 17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝， (1)求cos A的值； (2)若，b＝5，求向量在方向上的投影． 18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生． (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分) 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望． 19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点． (1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1； (2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值． 20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P. (1)求椭圆C的离心率； (2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程． 21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2. (1)指出函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值； (3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (四川卷) 第Ⅰ卷(选择题　共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1． 答案：A 解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}， ∴A∩B＝{－2}．故选A． 2． 答案：B 解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称． 3． 答案：D 解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D． 4． 答案：D 5． 答案：A 解析：由图象可得，， ∴T＝π，则ω＝＝2，再将点代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，， 令＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 解得，φ＝2kπ－，k∈Z， 又∵φ∈，则取k＝0， ∴φ＝.故选A． 6． 答案：B 解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离. 7． 答案：C 解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C． 8． 答案：C 解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a－lg b＝，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C． 9． 答案：C 解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由图示得，该事件概率. 10． 答案：A 解析：由题意可得，y0＝sin x0∈[－1,1]， 而由f(x)＝可知y0∈[0,1]， 当a＝0时，f(x)＝为增函数， ∴y0∈[0,1]时，f(y0)∈[1，]． ∴f(f(y0))≥＞1. ∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))＝y0成立，故B，D错； 当a＝e＋1时，f(x)＝，当y0∈[0,1]时，只有y0＝1时f(x)才有意义，而f(1)＝0， ∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故C错．故选A． 第Ⅱ卷(非选择题　共100分) 注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10 解析：由二项式展开系数可得，x2y3的系数为＝＝10. 12．答案：2 解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＝＝2， ∴λ＝2. 13．答案： 解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 又∵α∈，∴cos α＝. ∴sin α＝. ∴sin 2α＝，cos 2α＝2cos2α－1＝. ∴tan 2α＝＝. 14．答案：(－7,3) 解析：当x≥0时，令x2－4x＜5，解得，0≤x＜5. 又因为f(x)为定义域为R的偶函数，则不等式f(x＋2)＜5等价于－5＜x＋2＜5，即－7＜x＜3；故解集为(－7,3)． 15． 答案：①④ 解析：由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确； 对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜，故②错； 对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错； 对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|， 同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|， 则得， |MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|， 故O为梯形内唯一中位点是正确的． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d，前n项和为Sn. 由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)． 所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝. 17． 解：(1)由2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝， 即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝. 则cos(A－B＋B)＝，即cos A＝. (2)由cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝， 由正弦定理，有， 所以，sin B＝. 由题知a＞b，则A＞B，故. 根据余弦定理，有＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)． 故向量在方向上的投影为||cos B＝. 18． 解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝； 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝； 当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝. 所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为. (2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下： 输出y的值 为1的频率 输出y的值 为2的频率 输出y的值 为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 即ξ的数学期望为1. 19． 解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC， 因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC． 由已知，AB＝AC，D是BC的中点， 所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD． 因为AA1⊥平面ABC， 所以AA1⊥直线l. 又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)解法一： 连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF. 由(1)知，MN⊥平面AEA1， 所以平面AEA1⊥平面A1MN. 所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE. 所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF. 故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)． 设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1. 又P为AD的中点， 所以M为AB中点，且AP＝，AM＝1， 所以，在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝. 从而， . 所以sin θ＝. 所以cos θ＝. 故二面角A－A1M－N的余弦值为. 解法二：设A1A＝1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)． 则A1(0,0,0)，A(0,0,1)． 因为P为AD的中点， 所以M，N分别为AB，AC的中点． 故M，N. 所以＝，＝(0,0,1)，＝(，0,0)． 设平面AA1M的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 故有 从而 取x1＝1，则y1＝， 所以n1＝(1，，0)． 设平面A1MN的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 故有 从而 取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)． 设二面角A－A1M－N的平面角为θ， 又θ为锐角， 则cos θ＝ ＝. 故二面角A－A1M－N的余弦值为. 20． 解：(1)由椭圆定义知， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝， 所以. 又由已知，c＝1. 所以椭圆C的离心率. (2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1. 设点Q的坐标为(x，y)． (1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为. (2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2. 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)， 则|AM|2＝(1＋k2)x12，|AN|2＝(1＋k2)x22. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由，得 ， 即.① 将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞. 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 代入①中并化简，得.③ 因为点Q在直线y＝kx＋2上， 所以，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18. 由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪. 又满足10(y－2)2－3x2＝18， 故x∈. 由题意，Q(x，y)在椭圆C内， 所以－1≤y≤1. 又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1， 则y∈. 所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. 21． 解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)， 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1. 当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2. 因为x1＜x2＜0， 所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1. 所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0. 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即且时等号成立． 所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1. (3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2. 当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x12＋a. 当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1. 两切线重合的充要条件是 由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0. 由①②得，a＝x12＋－1＝x12－ln(2x1＋2)－1. 设h(x1)＝x12－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)， 则h′(x1)＝2x1－＜0. 所以，h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数． 则h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1， 所以a＞－ln 2－1. 又当x1∈(－1,0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．