2008年高考数学真题（理科）（四川自主命题）（延考区）.doc

2008年四川省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（　　） A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解． 【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}； 所以CU（A∩B）={1，2，4，5}， 故选D 【点评】本题考查集合的基本运算，较简单． 　 2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）2=（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有 【分析】先算（1+i）2，再算乘2i，化简即可． 【解答】解：∵2i（1+i）2=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i2=﹣4 故选A； 【点评】此题考查复数的运算，乘法公式，以及注意i2=﹣1；是基础题． 　 3．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cos2x=（　　） A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 【考点】同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简． 【解答】解：∵= 故选D； 【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”． 　 4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（　　） A． B． C．y=3x﹣3 D． 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有 【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程． 【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90° ∴两直线互相垂直 则该直线为， 那么将向右平移1个单位得，即 故选A． 【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题． 　 5．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（　　） A．（，） B．（，π） C．（，） D．（，） 【考点】正切函数的单调性；三角函数线．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα， ∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0， ∵0≤α≤2π， ∴﹣≤α﹣≤， ∵2sin（α﹣）＞0， ∴0＜α﹣＜π， ∴＜α＜． 故选C． 【点评】本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞cosα等价变形是难点，也是易错点，属于中档题． 　 6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（　　） A．70种 B．112种 C．140种 D．168种 【考点】组合及组合数公式．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案． 【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C104种不同挑选方法； 从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C84种不同挑选方法； ∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C104﹣C84=210﹣70=140种不同挑选方法， 故选C． 【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下手，方法较简单． 　 7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围． 【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=1 ∴ ∴当公比q＞0时，； 当公比q＜0时，． ∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 故选D． 【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用． 　 8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（　　） A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 【考点】球面距离及相关计算．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比． 【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，r3，球半径为R，则： ∴r12：r22：r32=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9 故选D 【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力． 　 9．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果． 【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件 故选B． 【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性； 数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性； 　 10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（　　） A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】当f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到x=0必是f（x）的极值点，即f′（0）=0，因而得到答案． 【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数 ∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点， ∴f′（0）=0 故选D 【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系． 　 11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（　　） A．13 B．2 C． D． 【考点】函数的值．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案． 【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2 ∴，，，， ∴， ∴ 故选C． 【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解． 　 12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0），根据及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积． 【解答】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2 ∴K（﹣2，0） 设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0） ∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2 ∴由BK2=AK2﹣AB2得y02=（x0+2）2，即8x0=（x0+2）2，解得A（2，±4） ∴△AFK的面积为 故选B． 【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△ABK中集中条件求出x0是关键； 　 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为　﹣6　． 【考点】二项式定理．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案． 【解答】解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为 C3013（2x）0•C4212（﹣x）2+C3112（2x）1•C4113（﹣x）1+C3212（2x）2•C4014（﹣x）0 ∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（﹣1）+C32•22•C4014=6﹣24+12=﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源． 　 14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为　　． 【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．菁优网版权所有 【专题】数形结合． 【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值． 【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求； ∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心为C（1，1），半径为， 点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为， ∴AD=CD﹣AC=2﹣=， 故C上各点到l的距离的最小值为． 故答案为： 【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式． 　 15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于　2　． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】计算题；作图题；压轴题． 【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积． 【解答】解：：如图可知：∵ ∴∴正四棱柱的体积等于=2 故答案为：2 【点评】此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式． 　 16．（4分）（2008•四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为　4　． 【考点】等差数列的前n项和；等差数列．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围． 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15， ∴， 即 ∴ ∴，5+3d≤6+2d，d≤1 ∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围； 　 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值． 【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）2+6，可设z═（u﹣1）2+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值． 【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x=7﹣2sin2x+4cos2x（1﹣cos2x）=7﹣2sin2x+4cos2xsin2x=7﹣2sin2x+sin22x=（1﹣sin2x）2+6 由于函数z=（u﹣1）2+6在[﹣1，1]中的最大值为zmax=（﹣1﹣1）2+6=10 最小值为zmin=（1﹣1）2+6=6 故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6 【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键． 　 18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望． 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论． （2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解． （3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望． 【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品， 记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种， （Ⅰ） = = =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5 （Ⅱ） = =0.5×0.4 =0.2 ∴ （Ⅲ）ξ～B（3，0.8）， 故ξ的分布列P（ξ=0）=0.23=0.008 P（ξ=1）=C31×0.8×0.22=0.096 P（ξ=2）=C32×0.82×0.2=0.384 P（ξ=3）=0.83=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4 【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用； 　 19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE （Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面； （Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱锥的结构特征．菁优网版权所有 【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面． （Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可． 【解答】解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC得 延长FE交AB的延长线于G′ 同理可得 故，即G与G′重合 因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面． （Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2 取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF 故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直． 所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN 由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角． 故 所以二面角A﹣ED﹣B的大小 【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键． 　 20．（12分）（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2n﹣1}是等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 【考点】数列的应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知an+1=2an+2n．由此可知an+1﹣（n+1）•2n=2an+2n﹣（n+1）•2n=2（an﹣n•2n﹣1），所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）当b=2时，由题设条件知an=（n+1）2n﹣1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{an}的通项公式． 【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2， 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1 两式相减得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1 即an+1=ban+2n① 当b=2时，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）•2n=2an+2n﹣（n+1）•2n=2（an﹣n•2n﹣1） 又a1﹣1•20=1≠0，所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n•2n﹣1=2n﹣1， 即an=（n+1）2n﹣1 当b≠2时，由①得 == 因此= 即 所以． 【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键． 　 21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点， （Ⅰ）若，求a，b的值； （Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线． 【考点】椭圆的应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值． （Ⅱ）|MN|2=（y1﹣y2）2=y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线． 【解答】解：由a2﹣b2=c2与，得a2=2b2，，l的方程为 设 则 由得① （Ⅰ）由，得②③ 由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2=4 故 （Ⅱ）证明：|MN|2=（y1﹣y2）2=y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2 当且仅当或时，|MN|取最小值 此时， 故与共线． 【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用． 　 22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；数形结合法． 【分析】（Ⅰ）先求导，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点即求解． （Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）． 【解答】解：（Ⅰ）因为 所以 因此a=16 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞） 当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0 所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加， 在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0 所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21 因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3） 所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1） 因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）． 【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．