2019年高考数学真题（文科）（北京自主命题）.docx

2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B= （A）（–1，1） （B）（1，2） （C）（–1，+∞） （D）（1，+∞） （2）已知复数z=2+i，则 （A） （B） （C）3 （D）5 （3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 （A） （B）y= （C） （D） （4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （5）已知双曲线（a>0）的离心率是，则a= （A） （B）4 （C）2 （D） （6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D） （8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 （A）4β+4cosβ （B）4β+4sinβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sinβ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________． （10）若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________． （11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________． （12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． （13）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． （14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分） 在△ABC中，a=3，，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B+C）的值． （16）（本小题13分） 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． （17）（本小题12分） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 （Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数； （Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由． （18）（本小题14分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； （Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． （19）（本小题14分） 已知椭圆的右焦点为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点． （20）（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）C （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）8 （10）–3 1 （11） （12）40 （13）若，则．（答案不唯一） （14）130 15 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）由余弦定理，得 ． 因为， 所以． 解得． 所以． （Ⅱ）由得． 由正弦定理得． 在中，． 所以． （16）（共13分） 解：（Ⅰ）设的公差为． 因为， 所以． 因为成等比数列， 所以． 所以． 解得． 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 所以，当时，；当时，． 所以，的最小值为． （17）（共12分） 解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人， A，B两种支付方式都不使用的学生有5人． 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人． 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为． （Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则． （Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”． 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，=0.04． 答案示例1：可以认为有变化．理由如下： 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化． （18）（共14分） 解：（Ⅰ）因为平面ABCD， 所以． 又因为底面ABCD为菱形， 所以． 所以平面PAC． （Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以PA⊥AE． 因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点， 所以AE⊥CD． 所以AB⊥AE． 所以AE⊥平面PAB． 所以平面PAB⊥平面PAE． （Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE． 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG． 则FG∥AB，且FG=AB． 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点， 所以CE∥AB，且CE=AB． 所以FG∥CE，且FG=CE． 所以四边形CEGF为平行四边形． 所以CF∥EG． 因为CF平面PAE，EG平面PAE， 所以CF∥平面PAE． （19）（共14分） 解：（I）由题意得，b2=1，c=1． 所以a2=b2+c2=2． 所以椭圆C的方程为． （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则直线AP的方程为． 令y=0，得点M的横坐标． 又，从而． 同理，． 由得． 则，． 所以 ． 又， 所以． 解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）． （20）（共14分） 解：（Ⅰ）由得． 令，即，得或． 又，， 所以曲线的斜率为1的切线方程是与， 即与． （Ⅱ）令． 由得． 令得或． 的情况如下： 所以的最小值为，最大值为． 故，即． （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 当时，； 当时，； 当时，． 综上，当最小时，． 选择填空解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B= A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞） 【答案】C 【解析】 【分析】 根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵ ， ∴ ， 故选C. 【点睛】考查并集求法，属于基础题. 2.已知复数z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵ 故选D. 【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数图像性质可得出结果. 【详解】函数， 在区间 上单调递减， 函数 在区间上单调递增，故选A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次， ， ， 运行第二次， ， ， 运行第三次， ， ， 结束循环，输出 ，故选B. 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 5.已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a= A. B. 4 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解. 【详解】分析：详解： ∵双曲线的离心率 ， ， ∴ ， 解得 ， 故选D. 【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查. 6.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断. 【详解】 时，, 为偶函数； 为偶函数时，对任意的恒成立， ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C. 【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，然后将对数式换指数式求再求 【详解】两颗星的星等与亮度满足 , 令 ， ， ， ， 故选D. 【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算. 8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 A. 4β+4cosβ B. 4β+4sinβ C. 2β+2cosβ D. 2β+2sinβ 【答案】B 【解析】 【分析】 阴影部分的面积S=S△PAB+ S1- S△OAB.其中S1、 S△OAB的值为定值.当且仅当S△PAB取最大值时阴影部分的面积S取最大值. 【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值， 此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S最大值为βr2+S△POB+ S△POA=4β+|OP||OB|sin（π-β）+|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B. 【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________. 【答案】8. 【解析】 【分析】 利用转化得到加以计算，得到. 【详解】向量 则. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 10.若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________. 【答案】 (1). . (2). 1. 【解析】 【分析】 作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解. 【详解】作出可行域如图阴影部分所示. 设z=y-x,则y=x+z.当直线l0：y=x+z经过点A（2,-1）时,z取最小值-3，经过点B（2,3）时,z取最大值1. 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 11.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________． 【答案】(x-1)2+y2=4. 【解析】 【分析】 由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y2=4x中，2P=4，P=2， 焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1， 以F为圆心， 且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4. 【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果. 12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 【答案】40. 【解析】 【分析】 画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积. 【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示 几何体的体积V=43-（2+4）×2×4=40 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 13.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 【解析】 【分析】 将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确； （2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内； （3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】 （1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果； （2）根据、分别探究. 【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元， 元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求. 元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立， 即8（y-x）≥7y，x≤，即x≤（）min=15元. 所以x的最大值为15. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.