2009年高考数学真题（文科）（北京自主命题）.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．设集合，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵， ∴ ，故选A. 2．已知向量，如果，那么 A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 【答案】D .w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab， 即cd且c与d反向，排除C，故选D 3．若为有理数），则 （ ） A．33 B． 29 C．23 D．19 【答案】B .w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ ， 由已知，得，∴.故选B. .k.s.5.u.c 4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A．， B．， C．， D．. 故应选C. 5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C. 6．“”是“”的 A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A .w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时，， 反之，当时，有， 或，故应选A. 7．若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为 ( ) A． B． 1 C． D． 【答案】D .w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，，如图， ，故选D. 8．设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( ) A． 三角形区域 B．四边形区域 C． 五边形区域 D．六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 大光明 如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A. 第Ⅱ卷（110分） 注意事项： 1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。 9．若，则 . 【答案】 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 由已知，在第三象限，∴，∴应填. 10．若数列满足：，则 ；前8项的和 .（用数字作答） 【答案】16 255 .w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查. ， 易知，∴应填255. 11．若实数满足则的最大值为 . 【答案】9 【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当时， 为最大值. 故应填9. 12．已知函数若，则 . .w.w.k.s.5【答案】 .w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由，无解，故应填. 13．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 【答案】 .w【解析】u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵， ∴， ∴， 又，∴， 又由余弦定理，得， ∴，故应填. 14．设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 因此，符合题意的集合是：共6个. 故应填6. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共12分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． （Ⅰ）∵， ∴函数的最小正周期为. （Ⅱ）由，∴， ∴在区间上的最大值为1，最小值为. 16．（本小题共14分） 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∵， ∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB， ∴平面. （Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE//PD，， 又∵， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，， ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为. 【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则， （Ⅰ）∵， ∴， ∴AC⊥DP，AC⊥BD， ∴AC⊥平面PDB， ∴平面. （Ⅱ）当且E为PB的中点时， ， 设，则，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角， ∵， ∴， ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为. 17．（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为. （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件. 则由题意，得， . 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， ∴事件B的概率为. 18．（本小题共14分） 设函数. （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）, ∵曲线在点处与直线相切， ∴ （Ⅱ）∵, 当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点. 当时，由， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴此时是的极大值点，是的极小值点. 19．（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。 （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）, ∴, ∵点在圆上， ∴，∴. 20．（本小题共13分） 设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m ，是使得不等式成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式； （Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. （Ⅰ）由题意，得， 解，得. ∴成立的所有n中的最小正整数为7，即. （Ⅱ）由题意，得， 对于正整数m，由，得. 根据的定义可知 当时，； 当时，. ∴ . （Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得. ∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ， 即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！ 当，即时，得， 解得.（经检验符合题意） ∴ 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.