2015年高考数学真题（文科）（四川自主命题）.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 姓名 成绩 一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、设集合，集合，则（ ） 2、设向量与向量共线，则实数（ ） 3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） 抽签法 系统抽样法 分层抽样法 随机数法 4、设为正实数，则是的（ ） 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 5、下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） 是 否 开始 结束 K=k+1 K=1 k>4? 输出S 6、执行如图所示程序框图，输出的值为（ ） 7、过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则（ ） 8、某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）。若该食品在℃的保鲜时间是 小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是 小时 小时 小时 小时 9、设实数满足则的最大值为（ ） 10、设直线与抛物线相交于两点，与圆相切与点.且为线段的中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是（ ） 二、填空题： 11、设是虚数单位，则 。 12、的值是 。 13、已知，则的值是 。 14、在三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为的正方形，俯视图是直角边为的等腰直角三角形，设分别是棱中点，则三棱锥的体积是 。 15、已知函数（其中），对于不相等的实数，设，，则现有如下命题： ①对于任意不等的实数，都有；②对于任意的及任意不相等的实数，都有； ③对于任意的，存在不相等的实数，使得；④对于任意的，存在不相等的实数，使得。其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号） 三、解答题： 16、（本小题满分12分） 设数列的前项和，且成等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求。 17、（本小题满分12分） 一辆小客车上有5各座位，其座位号为，乘客的座位号分别为，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位。（1）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表格空格处）；（2）若乘客坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客做到5号座位的概率。 乘客 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 18、（本小题满分12分） 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线平面。 H F B E G C D 19、（本小题满分12分） 已知为的内角，是关于的方程的两实根。（1）求的大小；（2）若，求的值。 20、（本小题满分13分） 如图，椭圆E：（>>0）的离心率是，点（0,1）在短轴CD上，且 （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点。是否存在常数， 使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。 C D B A x y O 21、（本小题满分14分） 已知函数，其中。（1）设是的导函数，讨论的单调性；（2）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。 2015年四川省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（　　） 　 A． {x|﹣1＜x＜3} B． {x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D． {x|2＜x＜3} 考点： 并集及其运算．菁优网版权所有 专题： 集合． 分析： 直接利用并集求解法则求解即可． 解答： 解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}， 则A∪B={x|﹣1＜x＜3}． 故选：A． 点评： 本题考查并集的求法，基本知识的考查． 　 2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x． 解答： 解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线， 所以4x=2×6，解得x=3； 故选：B． 点评： 本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn． 　 3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　） 　 A． 抽签法 B． 系统抽样法 C． 分层抽样法 D． 随机数法 考点： 收集数据的方法．菁优网版权所有 专题： 应用题；概率与统计． 分析： 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 解答： 解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理． 故选：C． 点评： 本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题． 　 4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（　　） 　 A． 充要条件 B． 充分不必要条件 　 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 充要条件．菁优网版权所有 专题： 简易逻辑． 分析： 先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案． 解答： 解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1， 故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件， 故选：A． 点评： 本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题． 　 5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　） 　 A． y=cos（2x+） B． y=sin（2x+） 　 C． y=sin2x+cos2x D． y=sinx+cosx 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 解答： 解： y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确； y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确； 故选：A． 点评： 本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　） 　 A． ﹣ B． C． ﹣ D． 考点： 程序框图．菁优网版权所有 专题： 图表型；算法和程序框图． 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k＞4，k=3 不满足条件k＞4，k=4 不满足条件k＞4，k=5 满足条件k＞4，S=sin=， 输出S的值为． 故选：D． 点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 　 7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　） 　 A． B． 2 C． 6 D． 4 考点： 双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|． 解答： 解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=， 过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2， 可得yA=2，yB=﹣2， ∴|AB|=4． 故选：D． 点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用． 　 8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（　　） 　 A． 16小时 B． 20小时 C． 24小时 D． 28小时 考点： 指数函数的实际应用．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可． 解答： 解：y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）． 当x=0时，eb=192， 当x=22时e22k+b=48， ∴e16k== e11k= eb=192 当x=33时，e33k+b=（ek）33•（eb）=（）3×192=24 故选：C 点评： 本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解． 　 9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（　　） 　 A． B． C． 12 D． 16 考点： 简单线性规划．菁优网版权所有 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图； 则动点P在BC上运动时，xy取得最大值， 此时2x+y=10， 则xy==， 当且仅当2x=y=5， 即x=，y=5时，取等号， 故xy的最大值为， 故选：A 点评： 本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 　 10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　） 　 A． （1，3） B． （1，4） C． （2，3） D． （2，4） 考点： 抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题： 综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论． 解答： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则 斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2， 因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3， 即M的轨迹是直线x=3， 代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4， 所以2＜r＜4时，直线l有2条； 斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故选：D． 点评： 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=　2i　． 考点： 复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 直接利用复数的运算法则求解即可． 解答： 解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i． 故答案为：2i． 点评： 本题考查复数的基本运算，考查计算能力． 　 12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是　2　． 考点： 对数的运算性质．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直接利用对数的运算法则化简求解即可． 解答： 解：lg0.01+log216=﹣2+4=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力． 　 13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是　﹣1　． 考点： 同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值． 分析： 已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值． 解答： 解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα， ∴tanα=﹣2， 则原式=====﹣1， 故答案为：﹣1 点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 　 14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是　　． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可． 解答： 解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的， 所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=． 故答案为：． 点评： 本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题： ①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0； ②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有　①④　（写出所有真命题的序号）． 考点： 命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②； 通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③； 通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④． 解答： 解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确； 对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立， 则②错误； 对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x， h′（x）=2x+a﹣2xln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误； 对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x， h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确． 故答案为：①④． 点评： 本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn． 考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）由条件Sn满足Sn=2an﹣a1，求得数列{an}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{an}的通项公式． （Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn． 解答： 解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2）， 即an=2an﹣1（n≥2）， 从而a2=2a1，a3=2a2=4a1． 又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1） 所以a1+4a1=2（2a1+1）， 解得：a1=2． 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an=2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）得=， 所以Tn=+++…+==1﹣． 点评： 本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题． 　 17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位． （Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处） 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 　3　 　2　 　4　 　1　 　5　 　3　 　2　 　5　 　4　 　1　 （Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率． 考点： 概率的应用．菁优网版权所有 专题： 应用题；概率与统计． 分析： （Ⅰ）根据题意，可以完成表格； （Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率． 解答： 解：（Ⅰ）余下两种坐法： 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 （Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则 所有可能的坐法可用下表表示为 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共8种， 设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==． 答：乘客P1坐到5号座位的概率是． 点评： 本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键． 　 18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示． （Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由） （Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论． （Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG． 考点： 直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置． （Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH． （Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG． 解答： 解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示． （Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下： ∵ABCD﹣EFGH为正方体， ∴BC∥FG，BC=EH， 又FG∥EH，FG=EH， ∴BC∥EH，BC=EH， ∴BCHE为平行四边形． ∴BE∥CH， 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH， ∴BE∥平面ACH， 同理BG∥平面ACH， 又BE∩BG=B， ∴平面BEG∥平面ACH． （Ⅲ）连接FH， ∵ABCD﹣EFGH为正方体， ∴DH⊥EG， 又∵EG⊂平面EFGH， ∴DH⊥EG， 又EG⊥FH，EG∩FH=O， ∴EG⊥平面BFHD， 又DF⊂平面BFHD， ∴DF⊥EG， 同理DF⊥BG， 又∵EG∩BG=G， ∴DF⊥平面BEG． 点评： 本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题． 　 19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根． （Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 考点： 正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用；解三角形． 分析： （Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值． （Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值． 解答： 解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0， 所以p≤﹣2，或p≥． 由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p． 所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0， 从而tan（A+B）==﹣=﹣． 所以tanC=﹣tan（A+B）=， 所以C=60°． （Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===， 解得B=45°，或B=135°（舍去）． 于是，A=180°﹣B﹣C=75°． 则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+． 所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣． 点评： 本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题． 　 20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1 （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题： 向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论； （Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3． 解答： 解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b）， 又∵P（0，1），且•=﹣1， ∴，解得a=2，b=， ∴椭圆E的方程为：+=1； （Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3． 理由如下： 对直线AB斜率的存在性进行讨论： ①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1， A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0， ∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0， ∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣， 从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）] =（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1 = =﹣﹣λ﹣2． ∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3， 此时•+λ•=﹣3为定值； ②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD， 此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3； 故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3． 点评： 本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题： 导数的综合应用． 分析： （I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性． （II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出． 解答： （I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0． g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减； 当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． （II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx， 令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx， 则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0， ∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0， 令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1）， 由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增． ∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0． 再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0； 又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0． 故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立． 综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 点评： 本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．