2010年高考数学真题（理科）（四川自主命题）.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第Ⅰ卷 一、选择题： （1）是虚数单位，计算 （A）－1 （B）1 （C） （D） （2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是 （A） （B） （C） （D） （3） （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 （4）函数的图像关于直线对称的充要条件是 （A） （B） （C） （D） （5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 （6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A） （B） （C） （D） （7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 （8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 （9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 （11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 （A） （B） （C） （D） （12）设，则的最小值是 （A）2 （B）4 （C） （D）5 2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）的展开式中的第四项是__________． （14）直线与圆相交于A、B两点，则________． （15）如图，二面角的大小是60°，线段． ，与所成的角为30°．则与平面所成 的角的正弦值是_________． （16）设S为复数集C的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题： ①集合 （为整数，为虚数单位）为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集． 其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ． （18）（本小题满分12分） 已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点． （Ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积． （19）（本小题满分12分） （Ⅰ）①证明两角和的余弦公式； ②由推导两角和的正弦公式． （Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求． （20）（本小题满分12分） 已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍．设点的轨迹为，过点的直线交于两点，直线分别交于点 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由． （21）（本小题满分12分） 已知数列满足，且对任意都有 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设证明：是等差数列； （Ⅲ）设，求数列的前项和． （22）（本小题满分14分） 设（且），是的反函数． （Ⅰ）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围； （Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：； （Ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由． 参考答案 一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 1—6：ADCACC 1—12：BBDCAB 二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13） （14） （15） （16）①② 三、解答题 （17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是…………（6分） （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3。 0 1 2 3 P …………（12分） （18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 （Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。 ∥ = 因为点M是棱的中点，点O是的中点， ∥ = 所以 OK ∥ = 所以MO AK 。……（4分） （Ⅱ）取 ， 从而， 故二面角……………………（9分） （Ⅲ）易知， …………（12分） 解法二 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （Ⅰ）因为点M是棱 所以 ………………（4分） （Ⅱ）设平面 即 故二面角………………（9分） （Ⅲ）易知， 即 取 点M到平面OBC的距离 ………………（12分） （19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。 解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系内作单位圆O，并作出角 交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角的始边为OP2，终边交⊙O于点P4。 则 展开并整理，得 …………（4分） ②由①易得， …………（6分） （Ⅱ）由题意，设、C的对边分别为b、c，则 …………（12分） （20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力。 解：（Ⅰ）设 化简得………………（4分） （Ⅱ）①当直线BC与轴不生直时，设BC的方程为 与双曲线方程 因为 因此 ②当直线BC与轴垂直时，其方程为 AB的方程为 同理可得 综上， 故以线段MN为直径的圆过点F。………………（12分） （21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意，令 再令………………（2分） （Ⅱ） 所以，数列………………（5分） （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知 则 另由已知（令可得， 那么， 于是， 当 当 两边同乘可得 上述两式相减即得 = = 所以 综上所述， （22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意，得 故 由得 列表如下： 2 （2，5） 5 （5，6） 6 ＋ 0 － 5 极大值 25 所以 所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分） （Ⅱ） （Ⅲ） 综上，总有……………………………………（14分）