2013年高考数学真题（文科）（四川自主命题）.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（文史类） 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、设集合，集合，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A）棱柱 （B）棱台 （C）圆柱 （D）圆台 3、如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ） （A） （B） （C） （D） 4、设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题，则（ ） （A） （B） （C） （D） 5、抛物线的焦点到直线的距离是（ ） （A） （B） （C） （D） 6、函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ） （A） （B） （C） （D） 7、某学校随机抽取个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是（ ） 8、若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） （A） （B） （C） （D） 9、从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A） （B） （C） （D） 10、设函数（，为自然对数的底数）。若存在使成立，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 第二部分 （非选择题 共100分） 注意事项： 必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11、的值是____________。 12、如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________。 13、已知函数在时取得最小值，则____________。 14、设，，则的值是____________。 15、在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是_______。 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分12分) 在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和。 17、(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影。 18、(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。 （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分） 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 … … … … 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 … … … … 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。 19、(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。 （Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高） 20、(本小题满分13分) 已知圆的方程为，点是坐标原点。直线与圆交于两点。 （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）设是线段上的点，且。请将表示为的函数。 21、(本小题满分14分) 已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。 （Ⅰ）指出函数的单调区间； （Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：； （Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。 答案： 2013年四川省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）（2013•四川）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　） 　 A． ∅ B． {2} C． {﹣2，2} D． {﹣2，1，2，3} 考点： 交集及其运算．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 找出A与B的公共元素即可求出交集． 解答： 解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}， ∴A∩B={2}． 故选B 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　） 　 A． 棱柱 B． 棱台 C． 圆柱 D． 圆台 考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答： 解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形， 从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台， 则该几何体可以是圆台． 故选D． 点评： 考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 　 3．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　） 　 A． A B． B C． C D． D 考点： 复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可． 解答： 解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称． 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B． 故选B． 点评： 本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查． 　 4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　） 　 A． ￢p：∃x∈A，2x∈B B． ￢p：∃x∉A，2x∈B C． ￢p：∃x∈A，2x∉B D． ￢p：∀x∉A，2x∉B 考点： 命题的否定；特称命题．菁优网版权所有 专题： 规律型． 分析： “全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题． 解答： 解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， ∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是： ￢p：∃x∈A，2x∉B． 故选C． 点评： 本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”． 　 5．（5分）（2013•四川）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（　　） 　 A． B． 2 C． D． 1 考点： 抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离． 解答： 解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0）， ∴点F（2，0）到直线的距离d==1． 故选D． 点评： 熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键． 　 6．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案． 解答： 解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值， ∴函数的周期T满足=﹣=， 由此可得T==π，解得ω=2， 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ） 又∵当x=时取得最大值2， ∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z） ∵，∴取k=0，得φ=﹣ 故选：A． 点评： 本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题． 　 7．（5分）（2013•四川）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 频率分布直方图；茎叶图．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： 根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图． 解答： 解：根据题意，频率分布表可得： 分组 频数 频率 [0，5） 1 0.05 [5，10） 1 0.05 [10，15） 4 0.20 … … … [30，35） 3 0.15 [35，40） 2 0.10 合计 100 1.00 进而可以作频率直方图可得： 故选：A． 点评： 本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用． 　 8．（5分）（2013•四川）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　） 　 A． 48 B． 30 C． 24 D． 16 考点： 简单线性规划．菁优网版权所有 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值． 解答： 解：满足约束条件的可行域如图所示 在坐标系中画出可行域， 平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8， 则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8． 经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16， 则目标函数z=5y﹣x的最大值为16． z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24． 故选C． 点评： 借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 　 9．（5分）（2013•四川）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c，从而可得答案． 解答： 解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0）， 则+=1， ∴y0=， ∴P（﹣c，）， 又A（a，0），B（0，b），AB∥OP， ∴kAB=kOP，即==， ∴b=c． 设该椭圆的离心率为e，则e2====， ∴椭圆的离心率e=． 故选C． 点评： 本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 　 10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　） 　 A． [1，e] B． [1，1+e] C． [e，1+e] D． [0，1] 考点： 函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用． 分析： 根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得ex=x2﹣x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围． 解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b） 其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数 因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为 “存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”， 即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点， 且交点的横坐标b∈[0，1]， ∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称， ∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上， 由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]， 根据，化简整理得ex=x2﹣x+a 记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象， 可得，即，解之得1≤a≤e 即实数a的取值范围为[1，e] 故选：A 点评： 本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）（2013•四川）lg+lg的值是　1　． 考点： 对数的运算性质．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 直接利用对数的运算性质求解即可． 解答： 解：==1． 故答案为：1． 点评： 本题考查对数的运算性质，基本知识的考查． 　 12．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=　2　． 考点： 平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 依题意，+=，而=2，从而可得答案． 解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴+=， 又O为AC的中点， ∴=2， ∴+=2， ∵+=λ， ∴λ=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题． 　 13．（5分）（2013•四川）已知函数在x=3时取得最小值，则a=　36　． 考点： 函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有 专题： 导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析： 由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值． 解答： 解：由题设函数在x=3时取得最小值， ∵x∈（0，+∞）， ∴得x=3必定是函数的极值点， ∴f′（3）=0， f′（x）=4﹣， 即4﹣=0， 解得a=36． 故答案为：36． 点评： 本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系． 　 14．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是　　． 考点： 二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．菁优网版权所有 专题： 压轴题；三角函数的求值． 分析： 已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值． 解答： 解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π）， ∴cosα=﹣，sinα==， ∴tanα=﹣， 则tan2α===． 故答案为： 点评： 此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 15．（5分）（2013•四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　（2，4）　． 考点： 一般形式的柯西不等式．菁优网版权所有 专题： 压轴题；直线与圆． 分析： 如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可． 解答： 解：如图，设平面直角坐标系中任一点P， P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD， 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点． ∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）， ∴AC，BD的方程分别为：，， 即2x﹣y=0，x+y﹣6=0． 解方程组得Q（2，4）． 故答案为：（2，4）． 点评： 本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）（2013•四川）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和． 考点： 等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．菁优网版权所有 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求 解答： 解：设等比数列的公比为q， 由已知可得，a1q﹣a1=2，4 联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0 ∴或q=1（舍去） ∴= 点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力 　 17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影． 考点： 两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的含义与物理意义；正弦定理．菁优网版权所有 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值； （Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量在方向上的投影． 解答： 解：（Ⅰ）由， 可得， 即， 即， 因为0＜A＜π， 所以． （Ⅱ）由正弦定理，，所以=， 由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=， 由余弦定理可知． 解得c=1，c=﹣7（舍去）． 向量在方向上的投影：=ccosB=． 点评： 本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想． 　 18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生． （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表（部分） 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697 乙的频数统计表（部分） 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353 当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大． 考点： 程序框图；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题： 图表型；算法和程序框图． 分析： （I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为； （II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大． 解答： 解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=； 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=； 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=； ∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为； （II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下： 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大． 点评： 本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 　 19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点． （Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高） 考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行． 等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ． （Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE，运算求得结果． 解答： 解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内， 故直线l与平面A1BC平行． 三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD． 再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l． 而AA1∩AD=A， ∴直线l⊥平面ADD1A1 ． （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC， ∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱， 故DE⊥平面AA1C1C． 直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=． ∵===1， ∴三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE=×1×=． 点评： 本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题． 　 20．（13分）（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点． （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数． 考点： 直线与圆的位置关系；函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： （Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围； （Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可． 解答： 解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*）， 根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3， 则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）； （Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2）， ∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2， 代入=+得：=+， 即=+=， 由（*）得到x1+x2=，x1x2=， 代入得：=，即m2=， ∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36， 由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，）， 根据题意得点Q在圆内，即n＞0， ∴n==， 则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））． 点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题． 　 21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2． （Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1； （Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： （I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间； （II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1； （III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围． 解答： 解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）； （II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2）， 函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1， 当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0， ∴x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1， ∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1； （III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2， 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）； 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）； 两直线重合的充要条件是， 由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1， 令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2） 则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数， 则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1， ∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）． 点评： 本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．