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2021
年高
数学
北京
自主
命题
原卷版
2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数满足,则( )
A. B. C. D.
3. 已知是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为( )
A B. 4 C. D. 2
5. 双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6. 和是两个等差数列,其中为常值,,,,则( )
A. B. C. D.
7. 函数,试判断函数奇偶性及最大值( )
A. 奇函数,最大值为2 B. 偶函数,最大值为2
C. 奇函数,最大值为 D. 偶函数,最大值为
8. 定义:24小时内降水在平地上积水厚度()来判断降雨程度.其中小雨(),中雨(),大雨(),暴雨(),小明用一个圆锥形容器接了24小时雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级( )
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
9. 已知圆,直线,当变化时,截得圆弦长的最小值为2,则( )
A. B. C. D.
10. 数列是递增的整数数列,且,,则的最大值为( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题5小题,每小题5分,共25分.
11. 展开式中常数项为__________.
12. 已知抛物线,焦点为,点为抛物线上的点,且,则的横坐标是_______;作轴于,则_______.
13. ,,,则_______;_______.
14. 若点与点关于轴对称,写出一个符合题意的___.
15. 已知函数,给出下列四个结论:
①若,则有两个零点;
②,使得有一个零点;
③,使得有三个零点;
④,使得有三个零点.
以上正确结论得序号_______.
三、解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16. 已知中,,.
(1)求的大小;
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出边上的中线的长度.
①;②周长为;③面积为;
17. 已知正方体,点为中点,直线交平面于点.
(1)证明:点为的中点;
(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.
18. 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.
(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;
②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);
(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).
19. 已知函数.
(1)若,求在处切线方程;
(2)若函数在处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.
20. 已知椭圆过点,以四个顶点围成的四边形面积为.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M、N,直线AC交y=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.
21. 定义数列:对实数p,满足:①,;②;③,.
(1)对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;
(2)若是数列,求的值;
(3)是否存在p,使得存在数列,对?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由.