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2008
年高
数学
理科
四川
自主
命题
2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学(非延考卷)
说明:2008年是四川省高考自主命题的第三年,因突遭特大地震灾害,四川六市州40县延考,本卷为非延考卷.
一、选择题:()
1.若集合,,,则( )
A. B. C. D.
2.复数( )
A.4 B.4 C.4 D.4
3.( )
A. B. C. D.
4.直线绕原点逆时针旋转,再向右平移1个单位后所得的直线为( )
A. B. C. D.
5.若,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动,要求甲、乙至少有1人参加,则不同的选法有( )
A.70 B.112 C.140 D.168
7.已知等比数列中,,则该数列前三项和的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设、是球的半径上的两点,且,分别过、、作垂直于的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为( )
A.3:5:6 B.3:6:8 C.5:7:9 D.5:8:9
9.设直线平面,过平面外一点且与、都成角的直线有且只有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
10.设,其中,则函数是偶函数的充分必要条件是( )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数满足:,,则( )
A. B. C. D.
12.设抛物线的焦点为,准线与轴相交于点,点在上且,则的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
二、填空题:()
13.的展开式中项的系数是
14.已知直线,圆,则圆上各点到直线的距离的最小值是
15.已知正四棱柱的一条对角线长为,且与底面所成的角的余弦值为,则该正四棱柱的体积是 .
16. 设等差数列的前项和为,,,则的最大值是 .
三、解答题:()解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.求函数的最大值和最小值.
18.设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5,购买乙商品的概率为0.6,且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立,每位顾客间购买商品也相互独立.
(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅲ)设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数,求的分布列及期望.
B
A
C
D
E
F
19.如图,面面,四边形与都是直角梯形,,,.
(Ⅰ)求证:、、、四点共面;
(Ⅱ)若,求二面角的大小.
20.设数列满足:.
(Ⅰ)当时,求证:是等比数列;
(Ⅱ)求通项公式.
21.设椭圆的左、右焦点分别是、,离心率,右准线上的两动点、,且.
(Ⅰ)若,求、的值;
(Ⅱ)当最小时,求证与共线.
22.已知是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)当直线与函数的图像有3个交点,求的取值范围.
2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
理科数学
说明:2008年是四川省高考自主命题的第三年,因突遭特大地震灾害,四川六市州40县延考,本卷为非延考卷.
一、选择题:()
1、解析:选B.离散型集合的交并补,送分题.难度为三年来最低,究其原因,盖汶川地震之故.
2、解析:选A.计算题,无任何陷阱,徒送分耳.2008四川考生因祸得福.
3、解析:
原式
,
选D.同角三角函数基本关系式,切化弦技巧等,属三角恒等变换范畴,辅以常规的代数变形.中等生无忧.
4、解析:本题有新意,审题是关键.
旋转则与原直线垂直,故旋转后斜率为.再右移1得.选A.
本题一考两直线垂直的充要条件,二考平移法则.辅以平几背景之旋转变换.
5、解析:,即,即,即;
又由,得;
综上,,即.选C.本题考到了正弦函数的正负区间.
除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外,还要记对称轴、对称中心、正负区间.
3,4,5题是本卷第一个坡,是中差生需消耗时间的地方.
6、解析:审题后针对题目中的至少二字,首选排除法..选C.本题应注意解题策略.
7、解析:.由双勾函数的图象知,或,故本题选D.本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质.以上诸题,基本功扎实的同学耗时不多.
8、解析:由题知,、是的三等分点,三个圆的面积之比即为半径的平方之比.在球的轴载面图中易求得:
,,故三个圆的半径的平方之比为:,故本题选D.本题着意考查空间想象能力.
9、解析:所求直线在平面内的射影必与直线平行,这样的直线只有两条,选B.本题考查空间角的概念和空间想象能力.
10、解析:本题考查理性思维和综合推理能力.函数是偶函数,则,,故排除A,B.
又,,.选D.此为一般化思路.也可走特殊化思路,取,验证.
11、解析:由,知,所以,即是周期函数,
周期为4.所以.选C.题着意考查抽象函数的性质.赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招.本题看似艰深,实为抽象函数问题中的常规题型,优生要笑了.
12、解析:解几常规题压轴,不怕.边读题边画图.的焦点,准线,.设,由,得,即.化简得:
,与联立求解,解得:,.,选B.
本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上.
二、填空题:()
13、答案:.
解析:二项式定理再现,难度高于文科。
.
项的系数是.这是中档略偏难的常规题.中差生在准确性和快捷性上有缺陷.
14、答案:.
解析:由数想形,所求最小值=圆心到到直线的距离-圆的半径.圆心到直线的距离.故最小值为.
15、答案:2.
解析:由题意,,,
16、答案:4.
解析:由题意,,即,,.
这是加了包装的线性规划,有意思.建立平面直角坐标系,画出可行域(图略),画出目标函数即直线,由图知,当直线过可行域内点时截距最大,此时目标函数取最大值.本题明为数列,实为线性规划,着力考查了转化化归和数形结合思想.掌握线性规划问题"画-移-求-答"四步曲,理解线性规划解题程序的实质是根本.这是本题的命题意图.
因约束条件只有两个,本题也可走不等式路线.设,由解得,∴,由不等式的性质得: ,即,的最大值是4.
从解题效率来看,不等式路线为佳,尽管命题者的意图为线性规划路线.本题解题策略的选择至关重要.
三、解答题:()解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17、解析:
,.
解析:
,.
18、解析:题目这么容易,估计今年的评分标准要偏严了.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)可取0,1,2,3.
的分布列为
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
.
19、解析:不是会不会的问题,而是熟不熟的问题,答题时间是最大问题.
(Ⅰ)∵面面,
∴面.
∴以为原点,以,,所在直线为轴,轴,轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设,,,则
,,,,,.
∴,,∴,
∴,
∵,∴,
∴、、、四点共面.
(Ⅱ)设,则,∴,,.
设平面的法向量为,
由,得,
设平面的法向量为
由,得,
由图知,二面角为锐角,∴其大小为.
20、解析:由题意,在中,令,得,.
由
得
两式相减得:
即 …………①
(Ⅰ)当时,由①知,
于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列.
(Ⅰ)变:当时,求的通项公式.解法如下:
解:当时,由①知,
两边同时除以得
∴是等差数列,公差为,首项为
∴
∴(∴,∴是等比数列,首项为1,公比为2)
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,,即
当时,由①:
两边同时除以得
可设 …………②
展开②得,与比较,
得,∴.
∴
∴是等比数列,公比为,首项为
∴
∴
∴
21、解析:数列和解几位列倒数第三和第二,意料之中.开始挤牙膏吧.
(Ⅰ)由已知,,.由,,∴.
又,∴,.
∴:,,.
延长交于,记右准线交轴于.
∵,∴.
由平几知识易证≌
∴,
即,.
∵,
∴,,,.
∴,.
(Ⅰ)另解:∵,∴,.
又
联立,消去、得:,
整理得:,.解得.但解此方程组要考倒不少人.
(Ⅱ)∵,∴.
.
当且仅当或时,取等号.此时取最小值.
此时.
∴与共线.
(Ⅱ)另解:∵,∴,.
设,的斜率分别为,.
由,由
.当且仅当即,时取等号.
即当最小时,,
此时.
∴与共线.
22、解析:似曾相识.通览后三题,找感觉,先熟后生,先易后难,分步得分.本卷后三难中,压轴题最熟最易入手.
(Ⅰ)
是函数的一个极值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ),.
令,得,.
和随的变化情况如下:
增
极大值
减
极小值
增
的增区间是,;减区间是.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在上单调递增,在上单调递增,在上单调递减.
∴,.
又时,;时,;
可据此画出函数的草图(图略),由图可知,
当直线与函数的图像有3个交点时,的取值范围为.