2011年高考数学真题（文科）（北京自主命题）.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文） 本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么 A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数 A．i B．-i C． D． 3．如果那么 A．y< x<1 B．x< y<1 C．1< x<y D．1<y<x 4．若p是真命题，q是假命题，则 A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．﹁p是真命题 D．﹁q是真命题 5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A．32 B．16+16 C．48 D．16+32 6．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为 A．2 B．3 C．4 D．5 7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在中.若b=5，，sinA=，则a=___________________. 10．已知双曲线（＞0）的一条渐近线的方程为，则= . 11．已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）.若a-2b与c共线，则k=________________. 12．在等比数列{an}中，a1=，a4=4，则公比q=______________；a1+a2+…+an= _________________. 13．已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______ 14．设A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（tR）.记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）= N（t）的所有可能取值为 三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示. （1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差其中为的平均数） 17．（本小题共14分） 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面BCP； （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形； （Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 18．（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值. 19．（本小题共14分） 已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）. （I）求椭圆G的方程； （II）求的面积. 20．（本小题共13分） 若数列满足，则称为数列，记. （Ⅰ）写出一个E数列A5满足； （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011； （Ⅲ）在的E数列中，求使得=0成立得n的最小值. 参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）A （3）D （4）D （5）B （6）C （7）B （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10）2 （11）1 （12）2 （13）（0，1） （14）6 6，7，8， 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为 所以的最小正周期为 （Ⅱ）因为 于是，当时，取得最大值2； 当取得最小值—1． （16）（共13分） 解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为 方差为 （Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）， 用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为 （17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点， 所以DE//PC。 又因为DE平面BCP， 所以DE//平面BCP。 （Ⅱ）因为D，E，F，G分别为 AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。 所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC⊥AB， 所以DE⊥DG， 所以四边形DEFG为矩形。 （Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下： 连接DF，EG，设Q为EG的中点 由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG. 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。 与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q， 且QM=QN=EG， 所以Q为满足条件的点. （18）（共13分） 解：（Ⅰ） 令，得． 与的情况如下： x （） （ —— 0 + ↗ ↗ 所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是 （Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增， 所以（x）在区间[0，1]上的最小值为 当时， 由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为； 当时，函数在[0，1]上单调递减， 所以在区间[0，1]上的最小值为 （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得 解得 又 所以椭圆G的方程为 （Ⅱ）设直线l的方程为 由得 设A、B的坐标分别为AB中点为E， 则 因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB. 所以PE的斜率 解得m=2。 此时方程①为 解得 所以 所以|AB|=. 此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离 所以△PAB的面积S= （20）（共13分） 解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A5. （答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1， —2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列， 所以． 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011． 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以a2000—at≤19999，即a2000≤a1+1999． 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999． 故是递增数列． 综上，结论得证. （Ⅲ）对首项为4的E数列Ak，由于 …… …… 所以 所以对任意的首项为4的E数列Am，若 则必有. 又的E数列 所以n是最小值是9.