2022春季高考（上海卷）数学试卷（题目版）.docx

2022 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷 2022.01.08 考生注意： 1. 本场考试时 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页； 2. 作答前，请在答题纸正面填写姓名、报名号，反面填写姓名，将核对好的条形码贴答题 纸指定位置； 3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一 律不得分； 4. 用 2B 细笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知 z = 2+i （其中i为虚数单位），则 z = ； 2. 已知集合 A = (-1,2)，集合 B = (1,3)，则 AI B = x-1 ； 3. 不等式 ＜0的解集为 ； x æ è p ö 4 ø 4. 若 tana = 3，则 tança + ÷ = ； 5. 设函数 f (x)= x3 的反函数为 f -1(x)，则 f 27 -1( )= ； 12 æ è 1 ö 1 6. 在 çx 3 + ÷ 的展开式中，则含 项的系数为 4 ； x ø x ìx+my = 2 îmx+16y = 8 7. 若关于 x, y的方程组í 有无穷多解，则实数m 的值为 ； p 8. 已知在DABC中，ÐA = ，AB = 2，AC = 3，则DABC的外接圆半径为 ； 3 9. 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134 大的数字个 数为 ；（用数字作答） 10. 在DABC 中，ÐC = 90°， AB = AC = 2，点 M 为边 AB 的中点，点 P 在边 BC 上， 则 MP×CP 的最小值为 ； x 2 11. 已 知 P(x , y ) ， P(x , y )两 点 均在 双 曲 线 : G 1( 0) - y = a＞ 的 右 支上 ， 若 2 1 1 1 1 2 2 a2 x x＞y y 恒成立，则实数a的取值范围为 ； 1 1 1 2 12. 已知函数 y = f (x)为定义域为 R 的奇函数，其图像关于 x =1对称，且当 xÎ(0,1]时， f (x)= ln x ，若将方程 f (x)= x+1的正实数根从小到大依次记为 x ,x ,x ,¼,x ，则 1 2 3 n lim(x - x )= . n+1 n n®¥ 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数定义域为 R 的是（ ） -1 1 3 1 2 （A） y = x （B） y = x-1 （C） y = x （D） y = x 2 14. 若a＞b＞c＞d ，则下列不等式恒成立的是（ ） （A）a+d＞b+c （C）ac＞bd （B）a+c＞b+ d （D）ad＞bc 15. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面， 则每天0 点至12点（包含0 点，不含12点）相邻两钟 面上的时针相互垂直的次数为（ ） （A）0 （B）2 （C）4 （D）12 16. 已知等比数列{a }的前n项和为 S ，前n项积为T ，则下列选项判断正确的是（ ） n n n （A）若 S2022＞S2021 ，则数列{an}是递增数列 （B）若T2022＞T2021 ， 则数列{an}是递增数列 （C）若数列{Sn}是递增数列，则a2022 ³ a2021 （D）若数列{Tn}是递增数列，则a2022 ³ a2021 三、简答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤. 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O ， AA 为圆柱的母线，底面半径长为1. 1 1 （1）若 AA = 4 ， M 为 AA 的中点，求直线 MO 与上底 1 1 1 面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过OO1 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积. 18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知在数列{a }中，a =1，其前n项和为 S . n 2 n （1）若{a }是等比数列， S = 3，求limS ； n 2 n n®¥ （2）若{a }是等差数列， S ³ n，求其公差d 的取值范围. n 2n 19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的 建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块 ABCD，AB = 30m，AD =15m.为保护 D处的 一棵古树，有关部门划定了以 D为圆心、 DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭 区.若空线入线口为 AB 边上的点 E ，出线口为CD边上的点 F ，施工要求 EF 与封闭区边 界相切，EF 右侧的四边形地块 BCFE 将作为绿地保护生态区.（计算长度精确到0.1m，计 算面积精确到0.01m2） （1）若ÐADE = 20°，求 EF 的长； （2）当入线口 E 在 AB 上的什么位置时，生态区 的面积最大？最大面积是多少？ 20. （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） x 2 2 已知椭圆G: + y =1(a＞1)， A、B 两点分别为G的左顶点、下顶点，C、D两点均 2 a 在直线l : x = a上，且C 在第一象限. p （1）设 F 是椭圆G的右焦点，且ÐAFB = ，求G的标准方程； 6 （2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线 AD 与直线 BC 的交点是否在椭圆G 上，并说明理由； （3）设直线 AD、BC 分别交椭圆G于点 P 、点Q，若 P、Q关于原点对称，求 CD 的 最小值. 21. （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 已知函数 f (x)的定义域为 R，现有两种对 f (x)变换的操作： j 变换： f (x)- f (x-t)；w 变换： f (x+t)- f (x)，其中t为大于0 的常数. （1）设 f (x)= 2x ，t =1， g(x)为 f (x)做j 变换后的结果，解方程： g(x)= 2； （2）设 f (x)= x2 ，h(x)为 f (x)做w 变换后的结果，解不等式： f (x)³ h(x)； （3）设 f (x)在(-¥,0)上单调递增， f (x)先做j 变换后得到u(x)，u(x)再做w 变换后 得到h (x)；f (x)先做w 变换后得到v(x)，v(x)再做j 变换后得到h (x).若h (x)= h (x) 1 2 1 2 恒成立，证明：函数 f (x)在 R 上单调递增.