2008年高考数学真题（理科）（北京自主命题）.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集，集合，，那么集合等于（ ） A． B． C． D． 2．若，，，则（ ） A． B． C． D． 3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．若实数满足则的最小值是（ ） A．0 B．1 C． D．9 6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ） A． B． C． D． 7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ） A． B． C． D． y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O 8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ） A1 A 2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共110分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知，其中是虚数单位，那么实数 ． 10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ． 11．若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； ．（用数字作答） 13．已知函数，对于上的任意，有如下条件： ①； ②； ③． 其中能使恒成立的条件序号是 ． 14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时， 表示非负实数的整数部分，例如，． 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 已知函数（）的最小正周期为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数在区间上的取值范围． 16．（本小题共14分） A C B P 如图，在三棱锥中，，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 17．（本小题共13分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列． 18．（本小题共13分） 已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 19．（本小题共14分） 已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程； （Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值． 20．（本小题共13分） 对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列 ． 对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列； 又定义． 设是每项均为正整数的有穷数列，令． （Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，． 2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9． 10． 11．5 10 12． 13．② 14． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ） ． 因为函数的最小正周期为，且， 所以，解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 因为， 所以， 所以， 因此，即的取值范围为． 16．（共14分） A C B D P 解法一： （Ⅰ）取中点，连结． ， ． ， ． A C B E P ， 平面． 平面， ． （Ⅱ），， ． 又， ． 又，即，且， 平面． 取中点．连结． ，． 是在平面内的射影， ． 是二面角的平面角． 在中，，，， ． A C B D P H 二面角的大小为． （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 过作，垂足为． 平面平面， 平面． 的长即为点到平面的距离． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面． 平面， ． 在中，，， ． ． 点到平面的距离为． 解法二： （Ⅰ），， ． 又， ． ， 平面． 平面， ． （Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系． A C B P z x y H E 则． 设． ， ，． 取中点，连结． ，， ，． 是二面角的平面角． ，，， ． 二面角的大小为． （Ⅲ）， 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系． ， 点的坐标为． ． 点到平面的距离为． 17．（共13分） 解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么， 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么， 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是． （Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务， 则． 所以，的分布列是 1 3 18．（共13分） 解： ． 令，得． 当，即时，的变化情况如下表： 0 当，即时，的变化情况如下表： 0 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减． 19．（共14分） 解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为． 因为四边形为菱形，所以． 于是可设直线的方程为． 由得． 因为在椭圆上， 所以，解得． 设两点坐标分别为， 则，，，． 所以． 所以的中点坐标为． 由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得． 所以直线的方程为，即． （Ⅱ）因为四边形为菱形，且， 所以． 所以菱形的面积． 由（Ⅰ）可得， 所以． 所以当时，菱形的面积取得最大值． 20．（共13分） （Ⅰ）解：， ， ； ， ． （Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为， 则为，，，，， 从而 ． 又， 所以 ， 故． （Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列． 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则． 当存在，使得时，若记数列为， 则． 所以． 从而对于任意给定的数列，由 可知． 又由（Ⅱ）可知，所以． 即对于，要么有，要么有． 因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有． 即存在正整数，当时，．