2014年上海高考理科数学真题及答案.doc

. 2014年上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　_________　． 　 2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　_________　． 　 3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　_________　． 　 4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为　_________　． 　 5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　_________　． 　 6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　_________　（结果用反三角函数值表示）． 　 7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　_________　． 　 8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　_________　． 　 9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　_________　． 　 10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　_________　（结果用最简分数表示）． 　 11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　_________　． 　 12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　_________　． 　 13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　_________　． 　 14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　_________　． 　 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　） 　 A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 　 C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件 　 16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 　 17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　） 　 A． 无论k，P1，P2如何，总是无解 B． 无论k，P1，P2如何，总有唯一解 　 C． 存在k，P1，P2，使之恰有两解 D． 存在k，P1，P2，使之有无穷多解 　 18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　） 　 A． [﹣1，2] B． [﹣1，0] C． [1，2] D． [0，2] 　 三、解答题（共5题，满分72分） 19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V． 　 20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=． （1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）； （2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 　 21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． 　 22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔； （2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 　 23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1． （1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围； （2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围． （3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差． 　 2014年上海市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　　． 考点： 二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值． 分析： 由二倍角的余弦公式化简，可得其周期． 解答： 解：y=1﹣2cos2（2x） =﹣[2cos2（2x）﹣1] =﹣cos4x， ∴函数的最小正周期为T== 故答案为： 点评： 本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题． 　 2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　6　． 考点： 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可． 解答： 解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位， 则（z+）•= =（1+2i）（1﹣2i）+1 =1﹣4i2+1 =2+4 =6． 故答案为：6 点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查． 　 3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　x=﹣2　． 考点： 椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 解答： 解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0）， 又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合， 故p=4， ∴抛物线的准线方程为x=﹣2． 故答案为：x=﹣2 点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题． 　 4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为　（﹣∞，2]　． 考点： 分段函数的应用；真题集萃．菁优网版权所有 专题： 分类讨论；函数的性质及应用． 分析： 可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围． 解答： 解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意； 当a=2时，f（2）=22=4，符合题意； 当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意； ∴a≤2， 故答案为：（﹣∞，2]． 点评： 本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题． 　 5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　2　． 考点： 基本不等式．菁优网版权所有 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解答： 解：∵xy=1，∴y= ∴x2+2y2=x2+≥2=2， 当且仅当x2=，即x=±时取等号， 故答案为：2 点评： 本题考查基本不等式，属基础题． 　 6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　arccos　（结果用反三角函数值表示）． 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角． 解答： 解：设圆锥母线与轴所成角为θ， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴==3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍， 故圆锥的轴截面如下图所示： 则cosθ==， ∴θ=arccos， 故答案为：arccos 点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键． 　 7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　　． 考点： 简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 专题： 计算题；坐标系和参数方程． 分析： 由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离． 解答： 解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1， ∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=． 故答案为：． 点评： 正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键． 　 8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　　． 考点： 极限及其运算．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值． 解答： 解：∵无穷等比数列{an}的公比为q， a1=（a3+a4+…an） =（﹣a1﹣a1q） =， ∴q2+q﹣1=0， 解得q=或q=（舍）． 故答案为：． 点评： 本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用． 　 9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　（0，1）　． 考点： 指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．菁优网版权所有 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 直接利用已知条件转化不等式求解即可． 解答： 解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0， 即＜， ∴， ∵y=是增函数， ∴的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 点评： 本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力． 　 10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　　（结果用最简分数表示）． 考点： 古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： 要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况， 再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 解答： 解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况， 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种， ∴选择的3天恰好为连续3天的概率是， 故答案为：． 点评： 本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题． 　 11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　﹣1　． 考点： 集合的相等．菁优网版权所有 专题： 集合． 分析： 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论． 解答： 解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}， 则 ①或 ②， 由①得， ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件． 若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a， ∵互异的复数a，b， ∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1， 故答案为：﹣1． 点评： 本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论． 　 12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　　． 考点： 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可． 解答： 解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a， 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点， 令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+， ∴此时x1=0，x2=，x3=2π， ∴x1+x2+x3=0++2π=． 故答案为： 点评： 本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题． 　 13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　0.2　． 考点： 离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： 设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果． 解答： 解：设小白得5分的概率至少为x， 则由题意知小白得4分的概率为1﹣x， ∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分， E（ξ）=4.2， ∴4（1﹣x）+5x=4.2， 解得x=0.2． 故答案为：0.2． 点评： 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用． 　 14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　[2，3]　． 考点： 直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： 通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可． 解答： 解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]， 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=， 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6， ∴m=∈[2，3]． 故答案为：[2，3]． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 　 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　） 　 A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 　 C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 专题： 简易逻辑． 分析： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定． 解答： 解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立， 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立， 故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件， 故选：B． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案． 解答： 解：如图建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1）， P8（0，2，1）， ，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1）， =（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1）， 易得•=1（i=1，2，…，8）， ∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1， 故选A． 点评： 本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段． 　 17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　） 　 A． 无论k，P1，P2如何，总是无解 B． 无论k，P1，P2如何，总有唯一解 　 C． 存在k，P1，P2，使之恰有两解 D． 存在k，P1，P2，使之有无穷多解 考点： 一次函数的性质与图象．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用；直线与圆． 分析： 判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可． 解答： 解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1 ， ①×b2﹣②×b1得：（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1， 即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解． 故选：B． 点评： 本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用． 　 18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　） 　 A． [﹣1，2] B． [﹣1，0] C． [1，2] D． [0，2] 考点： 分段函数的应用．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决． 解答： 解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值， 当a≥0时，f（0）=a2， 由题意得：a2≤x++a≤2+a， 解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2， ∴0≤a≤2， 故选：D． 点评： 本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题． 　 三、解答题（共5题，满分72分） 19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积． 解答： 解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°， ∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°， ∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°， ∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体， ∴△P1P2P3的边长为4， VP﹣ABC== 点评： 本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法． 　 20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=． （1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）； （2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 考点： 反函数；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据反函数的定义，即可求出， （2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决． 解答： 解：（1）∵a=4， ∴ ∴， ∴， ∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． （2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立， ∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0． ∵2x﹣2﹣x不恒为0， ∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件； 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立， ∴=﹣，整理可得a2﹣1=0， ∴a=±1， ∵a≥0， ∴a=1， 此时f（x）=，满足条件； 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数． 点评： 本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题． 　 21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． 考点： 解三角形的实际应用．菁优网版权所有 专题： 解三角形． 分析： （1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论． （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论． 解答： 解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=， ∵0， ∴tanα≥tan2β， ∴tan， 即=， 解得0≈28.28， 即CD的长至多为28.28米． （2）设DB=a，DA=b，CD=m， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得， 即a=， ∴m=≈26.93， 答：CD的长为26.93米． 点评： 本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键． 　 22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔； （2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 考点： 直线的一般式方程；真题集萃．菁优网版权所有 专题： 计算题；直线与圆． 分析： （1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论． （2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围． （3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线． 解答： （1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0， ∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔． （2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0， ∴k≤﹣，或 k≥． （3）证明：设点M（x，y），则 •|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①． y轴为x=0，显然与方程①联立无解． 又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0， 故x=0是一条分隔线． 若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1， 令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1， ∵f（0）f（2）＜0， ∴f（x）=0有实数解，即y=kx与E有公共点， ∴y=kx不是E的分隔线． ∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 点评： 本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题． 　 23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1． （1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围； （2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围． （3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差． 考点： 等比数列的性质；数列的求和．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）依题意：，又将已知代入求出x的范围； （2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围． （3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差． 解答： 解：（1）依题意：， ∴；又 ∴3≤x≤27， 综上可得：3≤x≤6 （2）由已知得，，， ∴， 当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立． 当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即， ∴ 不等式 ∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1， 得q2﹣3q+2≤0， 解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0， ∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立， ∴1＜q≤2， 当时， ，Sn≤Sn+1≤3Sn，即， ∴此不等式即， 3q﹣1＞0，q﹣3＜0， 3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0， qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0 ∴时，不等式恒成立， 上，q的取值范围为：． （3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1=1， 得 即 当n=1时，﹣≤d≤2； 当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥， 所以d≥， 所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0， 得k≤1999 所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣． 点评： 本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题． 　 ;.