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2004年上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）若，则　 　． 2．（4分）设抛物线的顶点坐标为，准线方程为，则它的焦点坐标为　 　． 3．（4分）设集合，，集合，．若，则　 　． 4．（4分）设等比数列的公比，且，则　 　． 5．（4分）设奇函数的定义域为，，若当，时，的图象如图，则不等式的解集是　 　． 6．（4分）已知点，若向量与同向，，则点的坐标为　 　． 7．（4分）在极坐标系中，点到直线的距离　 　． 8．（4分）圆心在直线上的圆与轴交于两点、，则圆的方程为　　． 9．（4分）若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 　 　． （结果用分数表示） 10．（4分）若函数在，上为增函数，则实数、的取值范围是　 　． 11．（4分）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是　 　． 12．（4分）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第　 　组．（写出所有符合要求的组号） ①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和． 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是　　 A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 14．（4分）三角方程的解集为　　 A．， B．， C．， D．， 15．（4分）若函数的图象可由的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，则等于　　 A． B． C． D． 16．（4分）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是　　 A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业 C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张 三、解答题（共6小题，满分86分） 17．（12分）已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的取值范围． 18．（12分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到时用料最省？ 19．（14分）记函数的定义域为，，的定义域为．若，求实数的取值范围． 20．（14分）已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8，． （1）求函数的表达式； （2）证明：当时，关于的方程（a）有三个实数解． 21．（16分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱长、、上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） （1）证明：为正四面体； （2）若求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由． 22．（18分）设，，，，，，，是二次曲线上的点，且，，，构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点．记． （1）若的方程为，．点及，求点的坐标；（只需写出一个） （2）若的方程为．点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最小值； （3）请选定一条除椭圆外的二次曲线及上的一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，，存在的充要条件，并说明理由． 符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号 向量坐标 ， 正切 2004年上海市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）若，则　3　． 【解答】解： 故答案为：3． 2．（4分）设抛物线的顶点坐标为，准线方程为，则它的焦点坐标为　　． 【解答】解：顶点到准线距离是， 则焦点到顶点距离是3， 且和准线在顶点两侧所以横坐标是． 它的焦点坐标是． 故答案为． 3．（4分）设集合，，集合，．若，则　，2，　． 【解答】解：，． ．． ，，，．，2，， 故答案为，2，． 4．（4分）设等比数列的公比，且，则　2　． 【解答】解：， ． ． 故答案为2． 5．（4分）设奇函数的定义域为，，若当，时，的图象如图，则不等式的解集是　或　． 【解答】解：由奇函数图象的特征可得在，上的图象． 由图象可解出结果． 故答案为或． 6．（4分）已知点，若向量与同向，，则点的坐标为　　． 【解答】解：设点坐标为，，点坐标为，． 与同向，可设，． ，． 则，，， 点坐标为． 故答案为： 7．（4分）在极坐标系中，点到直线的距离　　． 【解答】解：将原极坐标方程， 化成直角坐标方程为：， 点化成直角坐标方程为，． 点到直线的距离． 故填：． 8．（4分）圆心在直线上的圆与轴交于两点、，则圆的方程为　　． 【解答】解：圆与轴交于，， 由垂径定理得圆心在这条直线上． 又已知圆心在直线上，联立，解得， 圆心为， 半径． 所求圆的方程为． 故答案为． 9．（4分）若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 　　． （结果用分数表示） 【解答】解：展开式中共有11项， 其中只有4项的系数，，，为奇数． 该项的系数为奇数的概率是 故答案为 10．（4分）若函数在，上为增函数，则实数、的取值范围是　且　． 【解答】解：的图象可看作把的图象 向左或向右平移个单位，再向上平移2个单位得到的． 由已知画出图形，如图所示， 可得且， 故答案为：且． 11．（4分）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是　用代数的方法研究图形的几何性质　． 【解答】解：这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质． 故答案为用代数的方法研究图形的几何性质 12．（4分）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第　①④　组．（写出所有符合要求的组号） ①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和． 【解答】解：（1）由和，可知和．由可得公比，故能确定数列是该数列的“基本量”，故①对； （2）由与，设其公比为，首项为，可得，，， ，； 满足条件的可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列 的基本量，②不对； （3）由与，可得，当为奇数时，可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量． （4）由与由，故数列 能够确定，是数列 的一个基本量； 故答案为：①④． 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是　　 A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【解答】解：不正确，由面面垂直的性质定理可推出；不正确，可能； 正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出； 不正确，由面面垂直的性质定理可知，，且，，则； 故选：． 14．（4分）三角方程的解集为　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解： ， 故选：． 15．（4分）若函数的图象可由的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，得到的函数与原函数的反函数的图象关于轴对称． 故由题意知，函数与的反函数的图象关于轴对称． ，，反函数为，即， 故选：． 16．（4分）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是　　 A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业 C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张 【解答】解：用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况， 建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280， 建筑行业人才是供不应求， 物流行业应聘人数是74570， 而招聘人数不在前五位，要小于70436， 物流行业是供大于求， 就业形势是建筑行业好于物流行业， 故选：． 三、解答题（共6小题，满分86分） 17．（12分）已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的取值范围． 【解答】解：由题意得， 于是，， 得，． 18．（12分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到时用料最省？ 【解答】解：由题意得， ． 框架用料长度为， ． 当，即时等号成立． 此时，，． 故当为，为时，用料最省． 19．（14分）记函数的定义域为，，的定义域为．若，求实数的取值范围． 【解答】解：由得：，解得或， 即， 由得： 由得， ，或 即或，而，或 故当时，实数的取值范围是 20．（14分）已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8，． （1）求函数的表达式； （2）证明：当时，关于的方程（a）有三个实数解． 【解答】解：（1）由已知，设，过点， 即（1），得， ． 设，它的图象与直线的交点分别为 ，， 由，得，．．故． （2）证法一：（a），得， 即． 在同一坐标系内作出和的大致图象， 其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线， 与的图象是以为顶点，开口向下的抛物线． 因此，与的图象在第三象限有一个交点， 即（a）有一个负数解． 又（2），（2） 当时，．（2）（2）， 当时，在第一象限的图象上存在一点，（2）在图象的上方． 与的图象在第一象限有两个交点，即（a）有两个正数解． 因此，方程（a）有三个实数解． 证法二：由（a），得， 即，得方程的一个解． 方程化为， 由，△，得 ，， ，，，且． 若，即，则，， 得或，这与矛盾，． 故原方程（a）有三个实数解． 21．（16分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱长、、上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） （1）证明：为正四面体； （2）若求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由． 【解答】证明：（1）棱台与棱锥的棱长和相等， ． 又截面底面， ，，是正四面体 解：（2）取的中点，连拉，．． ，，平面，， 则为二面角的平面角． 由（1）知，的各棱长均为1， ，由是的中点，得 ，． （3）存在满足条件的直平行六面体． 棱台的棱长和为定值6，体积为． 设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为， 则该六面体棱长和为6，体积为． 正四面体的体积是，，．可知 故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为的直平行六面体即满足要求． 22．（18分）设，，，，，，，是二次曲线上的点，且，，，构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点．记． （1）若的方程为，．点及，求点的坐标；（只需写出一个） （2）若的方程为．点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最小值； （3）请选定一条除椭圆外的二次曲线及上的一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，，存在的充要条件，并说明理由． 符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号 向量坐标 ， 正切 【解答】解：（1），由，得． 由，得， 点的坐标可以为，． （2）原点到二次曲线上各点的最小距离为，最大距离为． ， ，且， ．， 在，上递增， 故的最小值为． （3）若双曲线，点， 则对于给定的，点，，存在的充要条件是． 原点到双曲线上各点的距离，，且， 点，，存在当且仅当，即． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:10:19；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156