2009年高考数学真题（理科）（北京自主命题）.doc

2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量不共线，如果，那么 A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则 到底面的距离为 A． B．1 C． D． 5．“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若为有理数），则 A．45 B．55 C．70 D．80 7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A．324 B．328 C．360 D．648 8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 A．直线上的所有点都是“点” B．直线上仅有有限个点是“点” C．直线上的所有点都不是“点” D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10．若实数满足则的最小值为__________。 11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为______________。 12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为____________。 13．若函数 则不等式的解集为____________。 14．已知数列满足：则________；=____________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，。 （I）求的值； （Ⅱ）求的面积。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16．（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （I）求证：平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 明理由。 17．（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。 18．（本小题共13分） 设函数 （I）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19．（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （I）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20．（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。 （I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且 （Ⅲ）证明：当时，成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 9． 10． 11． 12． 13． 14．1，0 三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且， ∴， ∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又∵， ∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴. ∴△ABC的面积. 16．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴， ∴在Rt△ABC中，，∴. ∴在Rt△ADE中，， ∴与平面所成的角的大小为. （Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时， 故存在点E使得二面角是直二面角. 17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为. （Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4）， ∴， ∴即的分布列是 0 2 4 6 8 ∴的期望是. 18．（Ⅰ）, 曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）由，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增； 若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是. 19．（Ⅰ）由题意，得，解得，∴， ∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为，化简得 由 及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， ∴，且， 设A、B两点的坐标分别为， 则，∵， 且， . ∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m 20．（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P. 由于都属于数集， ∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A， 由于，∴，故. 从而，∴ ∵， ∴，故. 由A具有性质P可知. 又∵， ∴， 从而，∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即， ∵，∴，∴，由A具有性质P可知. 由，得，且，∴，∴， 即是首项为1，公比为成等比数列. 解析 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ∵，∴复数所对应的点为，故选B. 2．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ） A．且c与d同向 B．且c与d反向 C．且c与d同向 D．且c与d反向 【答案】D 【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab， 即cd且c与d反向，排除C，故选D. 3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A．， B．， C．， D．. 故应选C. 4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则 到底面的距离为 （ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，，如图， ，故选D. 5．“”是“”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时，， 反之，当时，有， 或，故应选A. 6．若为有理数），则 （ ） A．45 B．55 C．70 D．80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ ， 由已知，得，∴.故选C. 7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【答案】B 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）， 当0不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B. 8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且 ，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A．直线上的所有点都是“点” B．直线上仅有有限个点是“点” C．直线上的所有点都不是“点” D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” 【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设， 则， ∵， ∴ 消去n,整理得关于x的方程 （1） ∵恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A. 2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共110分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．_________. W【答案】 【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查. ，故应填. 10．若实数满足则的最小值为__________. 【答案】 【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当时， 为最小值. 故应填. 11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________. 【答案】 【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查. 取，如图，采用数形结合法， 易得该曲线在处的切线的斜率为. 故应填. 12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________. 【答案】 【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又由余弦定理，得， ∴，故应填. 13．若函数 则不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. （1）由. （2）由. ∴不等式的解集为，∴应填. 14．已知数列满足：则________； =_________. 【答案】1，0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得，. ∴应填1，0. 三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． （Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且， ∴， ∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又∵， ∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴. ∴△ABC的面积. 16．（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴， ∴在Rt△ABC中，，∴. ∴在Rt△ADE中，， ∴与平面所成的角的大小为. （Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时， 故存在点E使得二面角是直二面角. 【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （Ⅰ）∵， ∴，∴BC⊥AP. 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点， ∴， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵， ∴. ∴与平面所成的角的大小为. （Ⅲ）同解法1. 17．（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为. （Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4）， ∴， ∴即的分布列是 0 2 4 6 8 ∴的期望是. 18．（本小题共13分） 设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）, 曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）由，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增； 若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是. 19．（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得， 解得， ∴， ∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得 由 及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， ∴，且， 设A、B两点的坐标分别为， 则， ∵， 且， . ∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m 【解法2】 （Ⅰ）同解法1 （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得. 由 及得 ① ② ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，∴， 设A、B两点的坐标分别为， 则， ∴， ∴ 的大小为. （∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）. 20．（本小题共13分） 已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且； （Ⅲ）证明：当时，成等比数列..k.s.5. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P. 由于都属于数集， ∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A， 由于，∴，故. 从而，∴ ∵， ∴，故. 由A具有性质P可知. 又∵， ∴， 从而， ∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即， ∵， ∴，∴， 由A具有性质P可知. 由，得，且，∴， ∴， 即是首项为1，公比为成等比数列.