2021届上海春考数学卷（试卷版）.docx

2021 年上海市春季高考数学试卷 2021.01 一. 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分） 1. 已知等差数列{a } 的首项为3，公差为2，则a = n 10 2. 已知z =1-3i ，则| z -i | = 3. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 2x + 5 4. 不等式 <1的解集为 x- 2 5. 直线x = -2与直线 3x - y +1= 0 的夹角为 ì a x +b y = c a1 b 1 1 1 1 = 6. 若方程组í 无解，则 a x+b y = c a2 b2 î 2 2 2 7. 已知(1+ x)n 的展开式中，唯有x3 的系数最大，则x3 的系数为 a +1 8. 已知函数 f (x) = 3x + (a > 0) 的最小值为5，则a = 3 x 9. 在无穷等比数列{a } 中，lim(a -a ) = 4 ，则a 的取值范围是 n 1 n 2 n®¥ 10. 某人某天需要运动总时长大于等于60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问 有几种运动方式组合 A 运动 B 运动 8 点-9 点 9 点-10 点 10 点-11 点 11 点-12 点 20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟 C 运动 D 运动 E 运动 7 点-8 点 30 分钟 y 2 11. 已知椭圆 x 2 + =1（0 < b <1）的左、右焦点为F 、F ，以O 为顶点，F 为焦点作 2 1 2 2 b 抛物线交椭圆于P，且ÐPFF = 45°，则抛物线的准线方程是 1 2 3 12. 已知q > 0 ，存在实数j ，使得对任意 nÎN* ，cos(nq +j) < ，则q 的最小值是 2 二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分） 13. 下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ） f (x) = x 2 B. f (x) = sin x C. f (x) = 2 x D. f (x) =1 A. 14. 已知集合A ={x | x > -1,xÎR}， B ={x | x - x-2 ³ 0,xÎR}，则下列关系中，正确 2 的是（ ） A. A Í B B. ð A Í ð B C. AI B = Æ D. AU B = R R R 15. 已知函数y = f (x) 的定义域为R ，下列是 f (x) 无最大值的充分条件是（ ） A. f (x) 为偶函数且关于点(1,1) 对称 C. f (x) 为奇函数且关于点(1,1) 对称 B. f (x) 为偶函数且关于直线x =1对称 D. f (x) 为奇函数且关于直线x =1对称 16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得 u uur uur uur uur uur AB×CE = 0；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥(CB +CA) ；它们的成立情况是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三. 解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18=76 分） 17. 四棱锥P - ABCD ，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB中点，PE ^平面ABCD . （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P - ABCD 的体积； （2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°， 求PC 与AD所成角的大小. 1 18. 已知A、B、C 为△ABC 的三个内角，a 、b、c 是其三条边，a = 2，cosC = - （1）若sin A = 2sin B，求b、c ； . 4 p 4 （2）若cos(A- ) = ，求c . 4 5 19.（1）团队在O 点西侧、东侧20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足 | PA| -| PB |= 20 千米，可知P在以A、B为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴 正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，若P在O 点北偏东60°处，求双曲线 标准方程和P点坐标； （2）团队又在O 点南侧、北侧15 千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现一点Q 满足 | QA| -| QB |= 30 千米，| QC | -| QD |=10 千米，求| OQ |和Q 点方位.（精确到1 米，1°） 20. 已知函数 f (x) = | x+ a | -a - x . （1）若a =1，求函数的定义域； （2）若a ¹ 0，且 f (ax) = a 有2 个不同实数根，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数 f (x) 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 21. 已知数列{a } 满足a ³ 0，对任意n ³ 2 ，a 和a 中存在一项使其为另一项与a 的 n n n n+1 n-1 等差中项. （1）已知a = 5 ，a = 3，a = 2 ，求a 的所有可能取值； 1 2 4 3 （2）已知a = a = a = 0 ，a 、a 、a 为正数，求证：a 、a 、a 成等比数列， 1 4 7 2 5 8 2 5 8 并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3 项为0，即a = a = a = 0 ，2 < r < s < t ，且a =1，a = 2 ， r s t 1 2 求a + a + a 的最大值. r+1 s+1 t+1