2018届上海春考数学卷（含答案）.docx

2018 年上海市春季高考数学试卷 2018.01 一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1. 不等式| x | >1的解集为 3n-1 . 2. 计算：lim = . ®¥ n 2 + n 3. 设集合 A ={x |0 < x < 2}， B ={x | -1< x <1}，则 A∩ B = . 2 4. 若复数 z =1+i（i是虚数单位），则 z + = . z 5. 已知{a }是等差数列，若a + a =10 ，则a + a + a = . n 2 8 3 5 7 6. 已知平面上动点 P到两个定点(1, 0) 和(-1,0)的距离之和等于4，则动点 P的轨迹方程为 . 7. 如图，在长方体 ABCD- ABC D 中， AB = 3，BC = 4， AA = 5，O是 AC 的中点，则三棱锥 A- AOB 的 1 1 1 1 1 1 1 1 1 体积为 . （第 7 题） （第 12 题） 8. 某校组队参加辩论赛，从6 名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四 辩，则不同的安排方法种数为 （结果用数值表示）. 2 a 9. 设aÎR ，若(x 2 + )9 与(x + )9 的二项展开式中的常数项相等，则a = 2 . x x 10. 设mÎR，若 z 是关于 x 的方程 x 2 + mx + m 11. 设a > 0，函数 f (x) = x + 2(1- x)sin(ax)， xÎ(0,1) ，若函数 y = 2x -1与 y = f (x)的图像有且仅有两个不同 的公共点，则a的取值范围是 2 -1= 0的一个虚根，则| z |的取值范围是 . . 12. 如图，正方形 ABCD的边长为20 米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点 P、Q分别在线段 AD、CB 上，若线段 PQ与圆O有公共点，则称点Q在点 P 的“盲区”中，已知点 P 以1.5米/秒的速度从 A出发向 D移动， 同时，点Q以1米/秒的速度从C 出发向 B 移动，则在点 P 从 A移动到 D的过程中，点Q在点 P 的盲区中的时长 约为 秒（精确到0.1). 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13.下列函数中，为偶函数的是（ ） A. y = x-2 B. y = x 1 3 C. y = x- 1 D. y = x 3 2 14.如图，在直三棱柱 ABC - ABC 的棱所在的直线中，与直线 BC 异面的直线的条数为（ ） 1 1 1 1 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 15.设S 为数列{a }的前n 项和，“{a }是递增数列”是“{S }是递增数列”的（ ） n n n n A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16.已知 A、B 为平面上的两个定点，且| AB |= 2，该平面上的动线段 PQ 的端点 P、Q ，满足| AP |£ 5， AP× AB = 6， AQ = -2AP ，则动线段 PQ 所形成图形的面积为（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 108 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知 y = cosx . 1 p （1）若 f (a) = ，且a Î[0,p]，求 f (a - )的值； 3 3 （2）求函数 y = f (2x)-2 f (x) 的最小值. x 2 2 18. 已知aÎR ，双曲线G: - y =1. 2 a （1）若点(2,1)在上，求G 的焦点坐标； （2）若a =1，直线 y = kx +1与G 相交于 A、 B两点，且线段 AB 中点的横坐标为 1，求实数k 的值. 19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥 为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图 1 所示，图 2 是投影射出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯投影的直观 图，在图 2 与图 3 中，点O 、A、B在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC ^ AB于C ，AB = 3米，OC = 4.5 米. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图 3 中，已知OC 平行于圆锥的母线 SD， AB 、 DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小 （精确到 0.01°）. （图 1） （图 2） （图 3） 1 20. 设a > 0，函数 f (x) = . 1+ a×2 x （1）若a =1，求 f (x)的反函数 f -1(x) ； （2）求函数 y = f (x)× f (-x) 的最大值（用a 表示）； （3）设 g(x) = f (x)- f (x -1)，若对任意 xÎ(-¥,0]， g(x) ³ g(0)恒成立，求a 取值范围. am -c n 21. 若{c }是递增数列，数列{a }满足：对任意 nÎN* ，存在mÎ N* ，使得 £ 0，则称{a }是{c }的“分 n n n n -cn+1 am 隔数列”. （1）设c = 2n，a = n+1，证明：数列{a }是{c }的分隔数列； n n n n （2）设c = n-4， S 是{c }的前n 项和，d = c ，判断数列{S }是否是数列{d }的分隔数列，并说明理由； n n n n n n 3n-2 （3）设cn aqn 1 - ，T 是{c }的前n 项和，若数列{T }是{c }的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围. = n n n n 参考答案 一. 填空题 1. (-¥,-1)∪(1,+¥)； 2. 3； 3. (0,1) ； 4. 2； 5.15； x 2 y 2 6. + =1； 7. 5； 4 3 3 11p 19p 8. 180； 9. 4； 10. ( ,+¥) ； 11. ( , ]； 12.4.4. 3 6 6 二. 选择题 13-16 ACDB 三. 解答题 1+ 2 6 3 17.（1） ；（2）- . 6 2 18.（1）( 3,0)，(- 3,0)；（2） 5 -1. 2 1 19.（1） ；（2）9.59°. 4 1- x 1 20.（1） f -1(x) = log2 , x 0，1 ；（2） y Î( ) = ,注： x 0时取最值；（3）(0, 2]. = max ( + ) a 1 2 x 21.（1）证明略；（2）不是，反例：n = 4时，m无解；（3）a > 0,q > 2.