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2018
上海
高考
数学
解析
2018年上海高考数学真题及答案
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.(4分)(2018•上海)行列式的值为 18 .
【考点】OM:二阶行列式的定义.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;49 :综合法;5R :矩阵和变换.
【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.
【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18.
故答案为:18.
【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.
2.(4分)(2018•上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为 ± .
【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题.
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.
【解答】解:∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为:y=±
【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想
3.(4分)(2018•上海)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为 21 (结果用数值表示).
【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有
【专题】38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.
【解答】解:二项式(1+x)7展开式的通项公式为
Tr+1=•xr,
令r=2,得展开式中x2的系数为=21.
故答案为:21.
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.
4.(4分)(2018•上海)设常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a= 7 .
【考点】4R:反函数.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.
【分析】由反函数的性质得函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),由此能求出a.
【解答】解:∵常数a∈R,函数f(x)=1og2(x+a).
f(x)的反函数的图象经过点(3,1),
∴函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3),
∴log2(1+a)=3,
解得a=7.
故答案为:7.
【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
5.(4分)(2018•上海)已知复数z满足(1+i)z=1﹣7i(i是虚数单位),则|z|= 5 .
【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有
【专题】38 :对应思想;4A :数学模型法;5N :数系的扩充和复数.
【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.
【解答】解:由(1+i)z=1﹣7i,
得,
则|z|=.
故答案为:5.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.
6.(4分)(2018•上海)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7= 14 .
【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4,d=2,由此能求出S7.
【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,
∴,
解得a1=﹣4,d=2,
∴S7=7a1+=﹣28+42=14.
故答案为:14.
【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
7.(5分)(2018•上海)已知α∈{﹣2,﹣1,﹣,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= ﹣1 .
【考点】4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;51 :函数的性质及应用.
【分析】由幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,得到a是奇数,且a<0,由此能求出a的值.
【解答】解:∵α∈{﹣2,﹣1,,1,2,3},
幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,
∴a是奇数,且a<0,
∴a=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
8.(5分)(2018•上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||=2,则的最小值为 ﹣3 .
【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;41 :向量法;5A :平面向量及应用.
【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a﹣b|=2,即a=b+2,或b=a+2,并可求得,将a=b+2带入上式即可求出的最小值,同理将b=a+2带入,也可求出的最小值.
【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);
∴;
∴a=b+2,或b=a+2;
且;
∴;
当a=b+2时,;
∵b2+2b﹣2的最小值为;
∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.
故答案为:﹣3.
【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.
9.(5分)(2018•上海)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示).
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.
【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可.
【解答】解:编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,
从中随机选取三个,3个数中含有1个2;2个2,没有2,3种情况,
所有的事件总数为:=10,
这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5,3,1或5,2,2两个,
所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,
故答案为:.
【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.
10.(5分)(2018•上海)设等比数列{an}的通项公式为an=qn﹣1(n∈N*),前n项和为Sn.若=,则q= 3 .
【考点】8J:数列的极限.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;34 :方程思想;35 :转化思想;49 :综合法;55 :点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.
【解答】解:等比数列{an}的通项公式为a=qn﹣1(n∈N*),可得a1=1,
因为=,所以数列的公比不是1,
,an+1=qn.
可得====,
可得q=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.
11.(5分)(2018•上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a= 6 .
【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有
【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用.
【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.
【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).
则:,
整理得:=1,
解得:2p+q=a2pq,
由于:2p+q=36pq,
所以:a2=36,
由于a>0,
故:a=6.
故答案为:6
【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.
12.(5分)(2018•上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为 + .
【考点】7F:基本不等式及其应用;IT:点到直线的距离公式.菁优网版权所有
【专题】35 :转化思想;48 :分析法;59 :不等式的解法及应用.
【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
=(x1,y1),=(x2,y2),
由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,
可得A,B两点在圆x2+y2=1上,
且•=1×1×cos∠AOB=,
即有∠AOB=60°,
即三角形OAB为等边三角形,
AB=1,
+的几何意义为点A,B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,
显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,
可设AB:x+y+t=0,(t>0),
由圆心O到直线AB的距离d=,
可得2=1,解得t=,
即有两平行线的距离为=,
即+的最大值为+,
故答案为:+.
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.(5分)(2018•上海)设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.
【解答】解:椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,
P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.
故选:C.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.
14.(5分)(2018•上海)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.
【分析】“a>1”⇒“”,“”⇒“a>1或a<0”,由此能求出结果.
【解答】解:a∈R,则“a>1”⇒“”,
“”⇒“a>1或a<0”,
∴“a>1”是“”的充分非必要条件.
故选:A.
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
15.(5分)(2018•上海)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
【考点】D8:排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;5O :排列组合.
【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.
【解答】解:根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×6=12,
当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,
当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,
故有12+2+2=16
故选:D.
【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.
16.(5分)(2018•上海)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )
A. B. C. D.0
【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有
【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;56 :三角函数的求值.
【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.
【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.
我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.
故选:B.
【点评】本题考查的知识要点:定义性函数的应用.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(14分)(2018•上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设PO=4,OA、OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.
【考点】LM:异面直线及其所成的角;L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距离;5G :空间角.
【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.
(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.
【解答】解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,
∴圆锥的体积V==
=.
(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,
M为线段AB的中点,
∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,
建立空间直角坐标系,
P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),
M(1,1,0),O(0,0,0),
=(1,1,﹣4),=(0,2,0),
设异面直线PM与OB所成的角为θ,
则cosθ===.
∴θ=arccos.
∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.
【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
18.(14分)(2018•上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.
【考点】GP:两角和与差的三角函数;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;38 :对应思想;4R:转化法;58 :解三角形.
【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,
(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.
【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,
∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,
∵f(x)为偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,
∴2asin2x=0,
∴a=0;
(2)∵f()=+1,
∴asin+2cos2()=a+1=+1,
∴a=,
∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,
∵f(x)=1﹣,
∴2sin(2x+)+1=1﹣,
∴sin(2x+)=﹣,
∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,
∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,
∵x∈[﹣π,π],
∴x=或x=或x=﹣或x=﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.
19.(14分)(2018•上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
f(x)=(单位:分钟),
而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
【考点】5B:分段函数的应用.菁优网版权所有
【专题】12 :应用题;33 :函数思想;4C :分类法;51 :函数的性质及应用.
【分析】(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;
(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.
【解答】解;(1)由题意知,当30<x<100时,
f(x)=2x+﹣90>40,
即x2﹣65x+900>0,
解得x<20或x>45,
∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
(2)当0<x≤30时,
g(x)=30•x%+40(1﹣x%)=40﹣;
当30<x<100时,
g(x)=(2x+﹣90)•x%+40(1﹣x%)=﹣x+58;
∴g(x)=;
当0<x<32.5时,g(x)单调递减;
当32.5<x<100时,g(x)单调递增;
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.
【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.
20.(16分)(2018•上海)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.
(1)用t表示点B到点F的距离;
(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;
(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.菁优网版权所有
【专题】35 :转化思想;4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)方法一:设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|;
方法二:根据抛物线的定义,即可求得|BF|;
(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积;
(3)设P及E点坐标,根据直线kPF•kFQ=﹣1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据+=,求得E点坐标,则()2=8(+6),即可求得P点坐标.
【解答】解:(1)方法一:由题意可知:设B(t,2t),
则|BF|==t+2,
∴|BF|=t+2;
方法二:由题意可知:设B(t,2t),
由抛物线的性质可知:|BF|=t+=t+2,∴|BF|=t+2;
(2)F(2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,
∴|AQ|=,∴Q(3,),设OQ的中点D,
D(,),
kQF==﹣,则直线PF方程:y=﹣(x﹣2),
联立,整理得:3x2﹣20x+12=0,
解得:x=,x=6(舍去),
∴△AQP的面积S=××=;
(3)存在,设P(,y),E(,m),则kPF==,kFQ=,
直线QF方程为y=(x﹣2),∴yQ=(8﹣2)=,Q(8,),
根据+=,则E(+6,),
∴()2=8(+6),解得:y2=,
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P(,).
【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.
21.(18分)(2018•上海)给定无穷数列{an},若无穷数列{bn}满足:对任意n∈N*,都有|bn﹣an|≤1,则称{bn}与{an}“接近”.
(1)设{an}是首项为1,公比为的等比数列,bn=an+1+1,n∈N*,判断数列{bn}是否与{an}接近,并说明理由;
(2)设数列{an}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{bn}是一个与{an}接近的数列,记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;
(3)已知{an}是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,且在b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.
【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.菁优网版权所有
【专题】34 :方程思想;48 :分析法;54 :等差数列与等比数列.
【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断;
(2)由新定义可得an﹣1≤bn≤an+1,求得bi,i=1,2,3,4的范围,即可得到所求个数;
(3)运用等差数列的通项公式可得an,讨论公差d>0,d=0,﹣2<d<0,d≤﹣2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围.
【解答】解:(1)数列{bn}与{an}接近.
理由:{an}是首项为1,公比为的等比数列,
可得an=,bn=an+1+1=+1,
则|bn﹣an|=|+1﹣|=1﹣<1,n∈N*,
可得数列{bn}与{an}接近;
(2){bn}是一个与{an}接近的数列,
可得an﹣1≤bn≤an+1,
数列{an}的前四项为:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,
可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9],
可能b1与b2相等,b2与b3相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等,
集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},
M中元素的个数m=3或4;
(3){an}是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,
可得an=a1+(n﹣1)d,
①若d>0,取bn=an,可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d>0,
则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;
②若d=0,取bn=a1﹣,则|bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=<1,n∈N*,
可得bn+1﹣bn=﹣>0,
则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中有200个正数,符合题意;
③若﹣2<d<0,可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1,b2n=a2n+1,
则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣(a2n﹣1﹣1)=2+d>0,
则b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中恰有100个正数,符合题意;
④若d≤﹣2,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,
即为an﹣1≤bn≤an+1,an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1,
可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣(an﹣1)=2+d≤0,
b2﹣b1,b3﹣b2,…,b201﹣b200中无正数,不符合题意.
综上可得,d的范围是(﹣2,+∞).
【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.