2016年上海高考理数真题及解析.doc

2016年上海高考数学（理科）真题 一、解答题（本大题共有14题，满分56分） 1. 设，则不等式的解集为________________ 【答案】 【解析】，即，故解集为 2. 设，其中为虚数单位，则_________________ 【答案】 【解析】，故 3. :, :, 则的距离为__________________ 【答案】 【解析】 4. 某次体检，位同学的身高（单位:米）分别为，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】 5. 已知点在函数的图像上，则的反函数____________ 【答案】 【解析】，故， ∴ ∴ 6. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】 【解析】, 7. 方程在区间上的解为________________ 【答案】 【解析】，即 ∴ ∴ ∴ 8. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于_______________ 【答案】 【解析】， 通项 取 常数项为 9. 已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于________________ 【答案】 【解析】， ∴ ∴ 10. 设，若关于的方程组无解，则的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】由已知，，且，∴ 11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大 值为___________ 【答案】 12. 在平面直角坐标系中，已知, , 是曲线上一个动点，则的取值范围 是____________ 【答案】 【解析】设, ，, 13. 设, ，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组 的组数为______________ 【答案】 【解析】(i)若 若，则； 若，则 (ii)若，若，则；若，则 共组 14. 如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是_______________ 【答案】 【解析】 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15. 设，则“”是“”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】时，达到最大 17. 已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】, , ，即 若，则，不可能成立 若，则，B成立 18. 设是定义域为的三个函数，对于命题:①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】①不成立，可举反例 , , ② 前两式作差，可得 结合第三式，可得, 也有 ∴②正确 故选D 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧 (1) 求三棱锥的体积 (2) 求异面直线与所成角的大小 【解析】(1) 连，则 ∴为正三角形 ∴ ∴ (2) 设点在下底面圆周的射影为，连，则 ∴为直线与所成角（或补角） 连 , ∴ ∴ ∴为正三角形 ∴ ∴ ∴ ∴直线与所成角大小为 20．（本题满分14分） 有一块正方形菜地, 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜 地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和 的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点， 点的坐标为，如图 (1) 求菜地内的分界线的方程 (2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上 纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并 判断哪一个更接近于面积的经验值 【解析】(1) 设分界线上任一点为，依题意 可得 (2) 设，则 ∴ ∴设所表述的矩形面积为，则 设五边形面积为，则 , ∴五边形的面积更接近的面积 21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点 (1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程 (2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率 【解析】(1)由已知, 取，得 ∵, ∴ 即 ∴ ∴渐近线方程为 (2)若，则双曲线为 ∴, 设, ，则 , , ∴ (*) ∵ ∴ ∴代入(*)式，可得 直线的斜率存在，故 ∴ 设直线为，代入 得 ∴，且 ∴ ∴ ∴直线的斜率为 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知，函数 (1) 当时，解不等式 (2) 若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围 (3) 设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求 的取值范围 【解析】(1) ∴不等式的解为或 (2)依题意， ∴ ① 可得 即 ② 当时，方程②的解为，代入①式，成立 当时，方程②的解为，代入①式，成立 当且时，方程②的解为 若为方程①的解，则，即 若为方程①的解，则，即 要使得方程①有且仅有一个解，则 综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或 (3)在上单调递减 依题意， 即 ∴，即 设，则 当时， 当时， ∵函数在递减 ∴ ∴ ∴的取值范围为 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. (1) 若具有性质. 且, , , , ，求； (2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，， ，判断是否具有性质，并说明理由； (3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条 件为“是常数列”. 【解析】(1) ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ (2)设的公差为，的公差为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵, 而, 但 故不具有性质 (3) 充分性：若为常数列，设 则 若存在使得， 则, 故具有性质 必要性：若对任意，具有性质 则 设函数, 由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个，使得 ∴ ∴ 故 ∴是常数列