2008年上海高考文科数学真题及答案.doc

2008年上海高考文科数学真题及答案 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式的解集是 ． 2．若集合、满足，则实数 ． 3．若复数满足（是虚数单位），则 ． 4．若函数的反函数，则 ． 5．若向量、满足，，且与的夹角为，则 ． 6．若直线经过抛物线的焦点，则实数 ． 7．若是实系数方程的一个虚根，且，则 ． 8．在平面直角坐标系中，从五个点：、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 9．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析 ． 10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则、的取值分别是 ． 11．在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、．如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取得最大值时，点的坐标是 ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．设椭圆上的点．若、是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A ．4 B．5 C．8 　 D．10 13．给定空间中的直线及平面．条件“直线与平面内两条相交直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧（　　） A． B． C． D． 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形．小区的两个出入口设置在点及点处．小区里有两条笔直的小路、，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）． 18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数，，直线（）与函数、的图象分别交于、两点． （1）当时，求的值； （2）求在时的最大值． 19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数． （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分． 已知双曲线：． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．记．求的取值范围； （3）已知点、、的坐标分别为、、，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）．记 ． （1）若，求的值； （2）求证：当是正整数时，； （3）已知，且存在正整数，使得在，，…，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100． 参考答案 一、填空题（第1题至第11题） 1． 2． 2 3． 4． （） 5．　　 6．－1 7． 4 8． 9． 10．， 11． 二、选择题（第12题至第15题） 题 号 12 13 14 15 答　案 D C B D 三、解答题（第16题至第21题） 16．解：过作，交于，连接． ∵平面 ∴是直线与平面所成的角．　…… 4分 由题意，得． ∵，∴．　　…… 8分 ∵，∴．　　……10分 故直线与平面所成角的大小是．　　…… 12分 17．解法一：设该扇形的半径为米．由题意，得 （米），（米），．　　　　　　…… 4分 在中，，　　　　…… 6分 即，　　　　　…… 9分 解得（米）． 答：该扇形的半径的长约为445米．　　　　　　…… 13分 解法二：连接，作，交于．　　　　　　…… 2分 由题意，得（米），（米），．　　　　　　…… 4分 在中， 　　　　　　　　 ∴（米），　　　　　　　　　　　 …… 6分 ．　　　　…… 9分 在直角中，（米），， ∴（米）． 答：该扇形的半径的长约为445米．　　　　　　…… 13分 18．解：（1）．　　　　　　　　　　…… 2分 　　　　　　　 　．　　　　　　　　　　　　　　　　……5分 （2）．　　　　　　　……8分 　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　……11分 ∵，，　　　　　　　　　　　　　　……13分 ∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……15分 19．解： （1）当时，；当时，．　　　　……2分 由条件可知，即，解得．　　　　　……6分 ∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分 （2）当时，，　　　　　　　　　　　……10分 即， ∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……13分 ∵，∴， 故的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……16分 20．解：（1）所求渐近线方程为，．　　　　　　　……3分 （2）设的坐标为，则的坐标为．　　　　　　　　　……4分 ．　　　　　……7分 ∵， ∴的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……9分 （3）若为双曲线上第一象限内的点，则直线的斜率．　　……11分 由计算可得，当时，； 当时，．　　　　　　　　　　　　　　　　……15分 ∴表示为直线的斜率的函数是．　　……16分 21．解：（1） 　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分 ∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分 （2）用数学归纳法证明：当时，． ①当时，，等式成立．　　　　　　……6分 ②假设时等式成立，即，那么当时， 　　　　　　……8分 ，等式也成立． 根据①和②可以断定：当当时，．　　　　　　　　　……10分 （3）（）． 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵是奇数，，，均为负数， ∴这些项均不可能取得100．　　　　　　　　　　　　　　　　……15分 ∴，解得，， 此时为100．　　　　　　　　　　　　　　　　……18分