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2008年上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式的解集是___________________. 2．若集合满足，则实数 . 3．若复数满足 (是虚数单位)，则= . 4．若函数的反函数为(x＞0)，则 . 5．若向量满足且与的夹角为，则＝___________________ 6．函数的最大值是___________________. 7．在平面直角坐标系中，从六个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当时，，则满足的的取值范围是___________________. 9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是___________________ 　　　　　　　　　　　. 10．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为,短轴长为 椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________ 11．方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标。若方程的各个实根所对应的点（I=1,2,…，k）均在直线的同侧，则实数a的取值范围是___________________. 二、选择（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 12．组合数C∈Z）恒等于　　　　　　　　　　　　　　　[答]（　　　） （A） (B)(n+1)(r+1)C (C)nrC (D). 13．给定空间中的直线及平面。条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答]（　　　） （A）充要条件.　　　　　　　　　　　　　　　（B）充分非必要条件. （C）必要非充分条件.　　　　　　　　　　　　（D）既非充分又非必要条件. 14．若数列是首项为l，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则值是　　　　　 　　　[答]（　　　） x y O · B A C · · D · （A）1. (B)2. (C) (D) 15．如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点的定圆所围成的区域（含边界），是被圆的四等分点。若点、点)满足且，则称优于。如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧　　　　　　　　　　　[答]（　　　） （A）　　　　　　　（B） （C） （D） 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 16．(本题满分12分) 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点。求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. A E B1 D1 D C1 A1 B C ［解］ 17．（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形。小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路。已知某人从沿走到用了 10分钟，从沿走到用了6分钟。若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米） A O D B C ［解］ 18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分. 已知函数，,直线与函数的图像分别交于M、N两点。 (1) 当 时，求值； (2) 求在时的最大值. ［解］ 19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分. 已知函数。 (1) 若，求的值； (2) 若+≥0对于恒成立，求实数的取值范围。 ［解］ 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。 设是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点的直线，记是直线与抛物线（≠0）的异于原点的交点. （1）已知.，求点的坐标； （2）已知点在椭圆求证：点Q落在双曲线=1上； （3）已知动点满足，，若点始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点的轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。 已知为首项的数列满足: . (1)当时，求数列的通项公式； （2）当时，试用表示数列前100项的和； （3）当（是正整数），，正整数时，求证：数列， ，，成等比数列当且仅当。 参考答案 1. (0,2); 2. 2; 3. 1+i; 4. 2; 5. ; 6. 2; 7. ; 8. (－1,0)∪(1,+∞); 9. 10.5和10.5; 10. h1cotθ1+ h2cotθ2≤2a； 11. (－∞, －6)∪(6,+∞); 12~15. D C B D; 16. arctan; 17. 445; 18. ⑴, ⑵;19. ⑴log2(+1), ⑵[－5,+∞); 20. ⑴Q(8,16), ⑶反比例函数图像(双曲线); 21. ⑴an＝ （k∈N）⑵ (9－)＋199