2003年上海高考理科数学真题及答案.doc

2003年上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）函数的最小正周期　 　． 2．（4分）若是方程的解，其中，则　 　． 3．（4分）在等差数列中，，，则　 　． 4．（4分）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标是　 　． 5．（4分）在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于　 　．（结果用反三角函数值表示） 6．（4分）设集合，，则集合且　 　． 7．（4分）中，若，则　 　． 8．（4分）若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项，公比的一组取值可以是，　 　． 9．（4分）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为　 　．（结果用分数表示） 10．（4分）方程的根　 　．（结果精确到 11．（4分）已知点，其中的为正整数．设表示外接圆的面积，则　 　． 12．（4分）给出问题：、是双曲线的焦点，点在双曲线上．若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17． 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内　 　． 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是　　 A． B． C． D． 14．（4分）在下列条件中，可判断平面与平行的是　　 A．、都垂直于平面 B．内存在不共线的三点到的距离相等 C．，是内两条直线，且， D．，是两条异面直线，且，，， 15．（4分）、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（4分）是定义在区间，上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是　　 A．若，则函数的图象关于原点对称 B．若，，则方程有大于2的实根 C．若，，则方程有两个实根 D．若，，则方程有三个实根 三、解答题（共7小题，满分86分） 17．（12分）已知复数，，求的最大值和最小值． 18．（12分）已知平行六面体中，平面，，．若，直线与平面所成的角等于，求平行六面体的体积． 19．（14分）已知数列为正整数）是首项是，公比为的等比数列． （1）求和：，； （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明． 20．（14分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状． （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？ （2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米） 21．（16分）在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点．已知，且点的纵坐标大于零． （1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求的取值范围． 22．（18分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． （1）函数是否属于集合？说明理由； （2）设函数的图象与的图象有公共点，证明：； （3）若函数，求实数的取值范围． 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）函数的最小正周期　　． 【解答】解： 对于，最小正周期 故答案为： 2．（4分）若是方程的解，其中，则　　． 【解答】解：是方程的解， ，即． 又，，． ．． 故答案为： 3．（4分）在等差数列中，，，则　　． 【解答】解：由题意知，解得， 故答案为 4．（4分）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标是　　． 【解答】解：直线，化为，与垂直过的直线方程为：，这两条直线的交点是． 所以的极坐标是． 故答案为：． 5．（4分）在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于　　．（结果用反三角函数值表示） 【解答】解：如图，取的中点，作面 则，设，则，， 将平移到，为异面直线与所成角 ，， 故答案为 6．（4分）设集合，，则集合且　　． 【解答】解：集合，集合或，或， 则集合且 故答案为：． 7．（4分）中，若，则　　． 【解答】解： 由正弦定理可得：，不妨设，， 根据余弦定理可得： 故答案为： 8．（4分）若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项，公比的一组取值可以是，　的一组数）　． 【解答】解：由题意知且对都成立， ， 故答案是为答案不唯一，的一组数） 9．（4分）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为　　．（结果用分数表示） 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有种结果， 而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家， 此两人属于同一个国家共有， 由对立事件的概率公式得到， 故答案为： 10．（4分）方程的根　2.6　．（结果精确到 【解答】解：先确定根的隔离区间： ．令，作图 根落在 区间内． 用二分法求根 ； （2）；（3） ； ； 结果保留到0.1，则． 故答案为2.6． 11．（4分）已知点，其中的为正整数．设表示外接圆的面积，则　　． 【解答】解：由题意可知外接圆圆心在轴上，可设为，则，即 ， 解得 为 圆的半径为 其外接圆的面积 ． 故答案是． 12．（4分）给出问题：、是双曲线的焦点，点在双曲线上．若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17． 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内　　． 【解答】解：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17． 依题意知，若， 由题设知△两边之差大于第三边，与三角形两边之差小于第三边的性质矛盾． 故学生解答不正确． 故答案为． 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：故选． 14．（4分）在下列条件中，可判断平面与平行的是　　 A．、都垂直于平面 B．内存在不共线的三点到的距离相等 C．，是内两条直线，且， D．，是两条异面直线，且，，， 【解答】解：中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误． 中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到的距离相等，这两个平面相交，错误． 中：如果这两条直线平行，那么平面与可能相交，所以错误． 故选：． 15．（4分）、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解答】解：、、、、、均为非零实数， 且不等式和的解集分别为集合和， 知这两个不等式的系数比相等与不等式解集没有必然联系， 可知两者是既非充分又非必要条件的关系， 故选：． 16．（4分）是定义在区间，上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是　　 A．若，则函数的图象关于原点对称 B．若，，则方程有大于2的实根 C．若，，则方程有两个实根 D．若，，则方程有三个实根 【解答】解：①若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项错误； ②当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，所以选项正确； ③若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么只有1个零点，所以只有1个实根，所以选项错误； ④若，，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即只有一个实根，所以选项错误． 故选：． 三、解答题（共7小题，满分86分） 17．（12分）已知复数，，求的最大值和最小值． 【解答】解： 故的最大值为，最小值为． 18．（12分）已知平行六面体中，平面，，．若，直线与平面所成的角等于，求平行六面体的体积． 【解答】解：连接，因为平面， ，所以． 在中，，． 所以． 又因为直线与平面所成的角等于， 所以，于是． 故平行六面体的体积为． 19．（14分）已知数列为正整数）是首项是，公比为的等比数列． （1）求和：，； （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明． 【解答】解：（1） ； （2）归纳概括的结论为： 若数列是首项为， 公比为的等比数列， 则， 为正整数． 证明： ． 20．（14分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状． （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？ （2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米） 【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，则点， 椭圆方程为． 将与点坐标代入椭圆方程， 得， 此时此时 因此隧道的拱宽约为33.3米； （2）由椭圆方程， 根据题意，将代入方程可得． 因为 即且，， 所以 当取最小值时， 有， 得， 此时， 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小． 21．（16分）在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点．已知，且点的纵坐标大于零． （1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求的取值范围． 【解答】解：（1）设， 则由， 即 得，或． ， ， 得， ，； （2）由，，得， 于是直线方程：． 由条件可知圆的标准方程为：， 得圆心，半径为． 设圆心关于直线的对称点为 则， 得， 所求圆的方程为； （3）设，，，为抛物线上关于直线对称两点， 则， 得 即，为方程的两个相异实根， 于是由， 得． 当时，抛物线上总有关于直线对称的两点． 22．（18分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． （1）函数是否属于集合？说明理由； （2）设函数的图象与的图象有公共点，证明：； （3）若函数，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）对于非零常数， ，． 因为对任意，不能恒成立， 所以； （2）因为函数且的图象与函数的图象有公共点， 所以方程组：有解，消去得， 显然不是方程的解，所以存在非零常数，使． 于是对于有故； （3）当时，，显然． 当时，因为，所以存在非零常数， 对任意，有成立， 即． 因为，且，所以，， 于是，，，， 故要使．成立， 只有，当时，成立， 则，． 当时，成立， 即成立， 则，，即，． 综合得，实数的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/27 22:52:56；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156