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2002年上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．若z∈C，且 (3+z)i=1 (i是虚数单位)，则z = . 2．已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2—）· = . 3．方程log3(1—2·3x)=2x+1的解x= . 4．若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 . 5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则= . 6．已知圆 (x+1)2+y2=1和圆外一点P (0，2)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是 . 7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示） 8．曲线（t为参数）的焦点坐标是 . 9．若A、B两点的极坐标为A（4，）、B（6，0），则AB中点的极坐标是 .（极角用反三角函数表示） 10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是 . 11．若数列中，a1=3，且an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式an= . 12．已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f -1(x)满足 . 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） （A）{z||z|=1, ≤argz≤,z∈C} ； （B）{z||z|≤1, ≤argz≤,z∈C} （C）{z||z|=1, Imz≥,z∈C} ； （D）{z||z|≤1, Imz≥,z∈C} 14．已知直线、m，平面α、β，且⊥α，mβ.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则⊥m ；（2）若⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则⊥m；（4）若∥α，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ ） 16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ） （A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分12分）已知点A（—，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x—2交于D、E两点.求线段DE的长. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。 已知函数f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1，]，其中θ∈（—，）. （1）当θ= —时，求函数y=f (x)的最大值与最小值； （2）求θ的取值范围，使y=f (x)在区间[—1，]上是单调函数. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 [200，400） [400，500） [500，700） [700，900） … 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=，试问： （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？ 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。 已知函数f (x)=a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）. （1）求函数f (x)的解析式； （2）记an =log2f (n)，n是正整数，Sn是数列的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0； （3）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由. 22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。 规定=，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广. （1）求的值； （2）组合数的两个性质：①=；②+=. 是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z. 2002年全国普通高等学校招生统一考试 理科数学参考答案（上海卷） 一、1.—3—i; 2.13; 3.—1; 4.30°； 5. ； 6. ； 7.； 8.（0，1）； 9.（，arctan）； 10. 或… 11. 12.f -1(0)=a,且f -1 (x)＜x (x∈A)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0，a). 二、DBCC 三、17. [解法一] 如图,以点为原点建立空间直角坐标系 由题意，有 设，则 因为 因为平面AOB 是OP与底面AOB所成的角 [解法二]取中点E，连结DE、BE，则 平面 是BD在平面内的射影。 又因为 由三垂线定理的逆定理，得 在矩形中，易得 得 （以下同解法一） ∠POB=arctan. 18. [解] 设点C（x,y），则 根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线 由 故点C的轨迹方程是 由，得 因为，所以直线与双曲线有两个交点。 设、， 则 故 19. [解] （1）当时 时，的值最小为； 当x = - 1 时，的值最大为 （2）函数图像的对称轴为。 ∵ 在区间上是单调递增函数， ∴ 或，即 或 因此，θ的取值范围是 20. [解] （1） （2）设商品的标价为x元 则，消费额： 由已知得（I） 或（II） 不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为 因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于的优惠率。 21. [解] （1）由，得故 （2）由题意 由得，即 故 （3），，， 当时， 当时， 因此，96不是数列中的项。 22. [解] （1） （2）性质①不能推广。例如取x=；有意义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是，，m是正整数，事实上，当m = 1时，有 当 时， = （3）当时，组合数∈Z 。当时，= 0∈Z 。 当时，