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2006年上海高考文科数学真题及答案 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）已知，3，，集合，，若，则实数　 　． 2．（4分）已知两条直线，．若，则　 　． 3．（4分）若函数的反函数的图象过点，则　 　． 4．（4分）计算：　 　． 5．（4分）若复数满足为虚数单位）为纯虚数，其中则　 　． 6．（4分）函数的最小正周期是　 　． 7．（4分）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是　 　． 8．（4分）方程的解是　 　． 9．（4分）已知实数，满足，则的最大值是　 　． 10．（4分）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是　 　（结果用分数表示）． 11．（4分）若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是　 　． 12．（4分）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若，分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是　 　． 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 14．（4分）如果，，那么，下列不等式中正确的是　　 A． B． C． D． 15．（4分）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（4分）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是　　 A．48 B．18 C．24 D．36 三、解答题（共6小题，满分86分） 17．（12分）已知是第一象限的角，且，求的值． 18．（12分）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到？ 19．（14分）在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积． 20．（14分）设数列的前项和为，且对任意正整数，． （1）求数列的通项公式 （2）设数列的前项和为，对数列，从第几项起？ 21．（16分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点． （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； （3）过原点的直线交椭圆于点，，求面积的最大值． 22．（18分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）如果函数在，上是减函数，在，上是增函数，求的值． （2）设常数，，求函数的最大值和最小值； （3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由． 2006年上海高考文科数学真题参考答案 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）已知，3，，集合，，若，则实数　4　． 【解答】解：已知，3，，集合，， 若，即集合是集合的子集． 则实数． 故填：4． 2．（4分）已知两条直线，．若，则　2　． 【解答】解：已知两条直线， ． ，， 则 3．（4分）若函数的反函数的图象过点，则　　． 【解答】解：若函数的反函数的图象过点， 则原函数的图象过点， ，． 故答案为． 4．（4分）计算：　　． 【解答】解：． 答案：． 5．（4分）若复数满足为虚数单位）为纯虚数，其中则　3　． 【解答】解：若复数满足为虚数单位）为纯虚数， 其中， 则，， ． 故答案为：3 6．（4分）函数的最小正周期是　　． 【解答】解：函数， 它的最小正周期是：． 故答案为：． 7．（4分）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是　　． 【解答】解：已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为， 则焦点在轴上，且，焦距与虚轴长之比为，即， 解得，， 则双曲线的标准方程是． 8．（4分）方程的解是　　． 【解答】解：， ， 解得． 的解是． 故答案为：． 9．（4分）已知实数，满足，则的最大值是　0　． 【解答】解：已知实数，满足， 其对应的可行域如图示： 由图得得三个交点为、、， 则的最大值是0． 10．（4分）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是　　（结果用分数表示）． 【解答】解：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者， 那么选到的两名都是女同学的概率是 ． 故答案为：． 11．（4分）若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是　　． 【解答】解：曲线得， 或，曲线与直线没有公共点， 则的取值范围是，． 故答案为 12．（4分）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若，分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是　4　． 【解答】解：如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点， 若，分别是到直线和的距离， 则称有序非负实数对是点的“距离坐标”， 根据上述定义，“距离坐标”是的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个， 所以满足条件的点的个数是4个． 故答案为：4． 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：在平行四边形中，根据向量的减法法则知， 所以下列结论中错误的是． 故选：． 14．（4分）如果，，那么，下列不等式中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、如果，，那么，，故正确； 、取，，可得，故错误； 、取，，可得，故错误； 、取，，可得，故错误； 故选：． 15．（4分）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【解答】解：若空间中有两条直线， 则“这两条直线为异面直线” “这两条直线没有公共点”； 反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”， 因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”； 所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件， 故选：． 16．（4分）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是　　 A．48 B．18 C．24 D．36 【解答】解：如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”． 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”， 分情况讨论：①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个； ②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个； 所以正方体中“正交线面对”共有36个． 选． 三、解答题（共6小题，满分86分） 17．（12分）已知是第一象限的角，且，求的值． 【解答】解： 由已知可得， 原式． 18．（12分）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到？ 【解答】解：连接， 由余弦定理得 ． 于是， ， ， 乙船应朝北偏东方向沿直线前往处救援． 19．（14分）在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积． 【解答】解：（1）， 为异面直线与所成角（或它的补角） ，， ， 异面直线与所成角为． （2）平面， 是与平面所成的角，． ，，， ． 三棱锥的体积． 20．（14分）设数列的前项和为，且对任意正整数，． （1）求数列的通项公式 （2）设数列的前项和为，对数列，从第几项起？ 【解答】解：（1）， ，． 当时， ，． （2）， ． 由，解得，而是正整数， 于是，． 从第46项起． 21．（16分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点． （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； （3）过原点的直线交椭圆于点，，求面积的最大值． 【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴． 又椭圆的焦点在轴上， 椭圆的标准方程为 （2）设线段的中点为，点的坐标是，， 由得 由，点在椭圆上，得， 线段中点的轨迹方程是． （3）当直线垂直于轴时，， 因此的面积． 当直线不垂直于轴时，设该直线方程为，代入， 解得，，，， 则，又点到直线的距离， 的面积 于是 由，得，其中，当时，等号成立． 的最大值是． 22．（18分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）如果函数在，上是减函数，在，上是增函数，求的值． （2）设常数，，求函数的最大值和最小值； （3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由． 【解答】解：（1）由已知得， ． （2），， ，， 于是，当时，函数取得最小值． （1）（2）， 当时，函数的最大值是（2）； 当时，函数的最大值是（1）． （3）设， ． 当时，，函数在，上是增函数； 当时，，函数在，上是减函数． 当是奇数时，是奇函数， 函数在，上是增函数，在，上是减函数． 当是偶数时，是偶函数， 函数在上是减函数，在，上是增函数． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布