2000年上海高考文科数学真题及答案.doc

2000年上海高考文科数学真题及答案 考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分。 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．已知向量、，若，则 。 2．函数的定义域为 。 3．圆锥曲线的焦点坐标是 。 4．计算： 。 5．已知的反函数为，若的图象经过点，则 。 6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需 年。 （按：1999年本市常住人口总数约1300万） 7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 8．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，= 。 9．在二项式的展开式中，系数是小的项的系数为 。（结果用数值表示） 10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 。 11．图中阴影部分的点满足不等式组 ，在这些点中，使目标函数取得最大 值的点的坐标是 。 12．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立。 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13．函数是 （A）增函数 （B）减函数 （C）偶函数 （D）奇函数 [答]（ ） 14．设有不同的直线、和不同的平面、、，给出下列三个命题： （1）若，，则。 （2）若，，则。 （3）若，，则。 其中正确的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 [答]（ ） 15．若集合是 （A） （B） （C） （D）有限集 [答]（ ） 16．下列命题中正确的命题是 （A）若点为角终边上一点，则。 （B）同时满足的角有且只有一个。 （C）当时，的值恒正。 （D）三角方程的解集为。 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（本题满分12分） 已知椭圆C的焦点分别为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。 [解] 18．（本题满分12分） 如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积。 [解] 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数。 （1）当时，求函数的最小值。 （2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围。 [解]（1） [解]（2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离。 （1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。 （2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。 [解]（1） [解]（2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。 在XOY平面上有一点列对每个自然数，点位于函数的图象上，且点，点与点构成一个以为顶点的等腰三角形 （1）求点的纵坐标的表达式； （2）若对每个自然数，以，，为边长能构成一个三角形，求的取值范围； （3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列前多少项的和最大？试说明理由。 [解]（1） [解]（2） [解]（3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。 已知复数和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，。 （1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式： （2）将（、）用为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点。 已知点经该变换后得到的点的坐标为，试求点的坐标； （3）若直线上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求的值。 [解]（1） [解]（2） [解]（3） 2000年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准 说明 1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进行评分。 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 3．第17题至第22题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。给分或扣分均以1分为单位。 解答 一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。 1．4 2． 3．（－4，0），（6，0） 4． 5．1 6．9 7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 8． 9．－462 10． 11．（0，5） 12． 二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。 题号 13 14 15 16 代号 C A A D 三、（第17题至第22题） 17．[解]设椭圆C的方程为 …（2分） 由题意，，于是。 ∴椭圆C的方程为 …（4分） 由得 因为该二次方程的判别，所以直线与椭圆有两个不同交点。 …（8分） 设 则， 故线段AB的中点坐标为 …（12分） 18．[解法一]如图建立空间直角坐标系， …（2分） 由题意，有，， 设D点的坐标为， 则， …（6分） 则， 且所成的角的大小为。 ∴， 得，故BD的长度是4， …（10分） 又， 因此四面体ABCD的体积是， …（12分） [解法二]过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角。 ∴∠DAF=， …（4分） ∵E是AC的中点，∴B是CF的中点， AF=2BE=。 …（6分） 又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA， ∴DF=DA …（8分） 三角形ADF是等腰三角形， AD=， …（10分） 因此四面体ABCD的体积是 …（12分） 19．[解]（1）当时，， 在区间[]上为增函数， …（3分） 在区间[]上的最小值为 …（6分） （2）[解法一]在区间的[]上， 的恒成立恒成立， …（8分） 设， 递增，∴当时，， …（12分） 于是当且仅当时，函数恒成立， 故 …（14分） （2）[解法二]， 当时，函数的值恒为正， …（8分） 当时，函数递增， 故当时，， …（12分） 于是当且仅当时， 函数恒成立， 故 …（14分） 20．[解]（1），， 得指令为， …（4分） （2）设机器人最快在点处截住小球…（6分） 则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有 …（8分） 即 得。 ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短， ∴ 故机器人最快可在点处截住小球， …（10分） 所给的指令为 …（14分） 21．[解]（1）由题意，， …（4分） [解]（2）∵函数递减， ∴对每个自然数，有＞＞， 则以，，为边长能构成一个三角形的充要条件是+＞， 即， …（7分） 解得， ∴ …（10分） [解]（3）∵， ∴， ， …（12分） 于是, 数列是一个递减的等差数列。 因此，当且仅当，且时，数列的前项的和最大。 由， 得， ∴ …（16分） 22．[解]（1）由题设，， 于是由 …（3分） 因此由， …（5分） [解]（2）由题意，有 …（7分） ， 即P点的坐标为。 …（10分） [解]（3）∵直线上的任意点P，其经变换后的点仍在该直线上， ∴， 即 …（13分） [解法一]∵当时，，不是同一条直线， ∴， 于是， …（16分） 即 解得 …（18分） [解法二]取直线上的点。 …（16分） 经检验，确实满足条件 …（18分）