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2012年上海高考文科数学试题及答案 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算： （为虚数单位） 2、若集合，，则＝ 3、函数的最小正周期是 4、若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 5、一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 6、方程的解是 7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 8、在的二项式展开式中，常数项等于 9、已知是奇函数，若且，则 10、满足约束条件的目标函数的最小值是 11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示） 12、在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 13、已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 14、已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15、若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A、 B、 C、 D、 16、对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 17、在△中，若，则△的形状是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 18、若（），则在中，正数的个数是（ ） A、16 B、72 C、86 D、100 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求： （1）三棱锥的体积 （2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知 （1）若，求的取值范围 （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，，求函数（）的反函数 21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为 （1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向 （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 在平面直角坐标系中，已知双曲线 （1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标； （2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥ 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 （2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（） （3）设，常数，若，是的控制数列，求