2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）.doc

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（理） 一、选择题 1.设，则( ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 设，则，，所以，，所以. 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 答案： C 解析： ，； 当，时，；当，时，.所以，.故选C. 3.已知命题﹐；命题，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 答案： A 解析： 根据正弦函数的值域，故，，为真命题，而函数为偶函数，且时，，故，恒成立.，则也为真命题，所以为真，选A. 4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： ，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数. 5.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 答案： D 解析： 如图，为直线与所成角的平面角. 易知为正三角形，又为中点，所以. 6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 答案： C 解析： 所求分配方案数为. 7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： 逆向：. 故选B. 8.在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： 由题意记，，题目即求的概率，绘图如下所示. 故. 9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ） A. B. C. D. 答案： A 解析： 连接交于，则. 记，，则. 而，.所以. 故，所以高. 10.设，若为函数的极大值点，则 A. B. C. D. 答案： D 解析： 若，其图像如图（1），此时，；若，时图像如图（2），此时，. 综上，. 11.设是椭圆：的上顶点，若上的任意一点都满足，，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 由题意，点，设，则，故 ， . 由题意，当时，最大，则，，，，. 12.设，，，则（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析: 设，则，易得 . 当时，，故. 所以在上单调递减，所以，故. 再设，则，易得 . 当时，，所以在上. 故在上单调递增，所以，故. 综上，. 二、填空题 13.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为 . 答案： 解析： 易知双曲线渐近线方程为，由题意得，，且一条渐近线方程为，则有（舍去），，故焦距为. 14.已知向量，，若，则 . 答案： 解析： 由题意得，即，解得. 15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为， ，，则 . 答案： 解析： ，所以， 由余弦定理，，所以. 16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）. 答案： ②⑤或③④ 解析： 由高度可知，侧视图只能为②或③. 侧视图为②，如图（1），平面平面，，，，俯视图为⑤. 俯视图为③，如图（2），平面，，，，俯视图为④. 三、解答题 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到产品该项指标数据如下： 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和， 样本方差分别 己为和. （1）求，，，： （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否 则不认为有显著提高 ) 。 答案： 见解析 解析： （1）各项所求值如下所示. ，，，. （2）由（1）中数据得.显然.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，,为的中点，且. （1）求； （2）求二面角的正弦值. 答案： 见解析 解析： （1）因为平面，且矩形中，.所以以，，分别为，，轴正方向，为原点建立空间直角坐标系.设，，，，，所以， 因为，所以所以，所以. (2)设平面的一个法向量为，由于，则.令，的.设平面的一个法向量为，则.令，的.所以，所以二面角的正弦值为. 19.记为数列的前项和，为数列的前项积，已知. （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式. 答案： 见解析 解析： （1）由已知，则，，， 故是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，则， 时，，时，， 故. 20.设函数，已知是函数的极值点. （1）求； （2）设函数，证明：. 答案： 见解析 解析： （1）令 则. ∵是函数的极值点. ∴. 解得：； （2） 由（1）可知： ， 要证，即证（且） . ∵当时，. 当时，. ∴只需证明 令，且易知. 则 （i）当时，易得，则在上单调递减， ∵，∴，得证. （ii）当时，易得，则在上单调递增. ∵，∴，得证. 综上证得. 21.已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为. （1）求； （2）若点在上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最大值. 答案： 见解析 解析： （1）焦点到的最短距离为，所以. （2）抛物线，设，，，得 ：， ：，且， ，都过点，则， 故：，即， 联立，得，， 所以， ，所以. 而，故当时，达到最大，最大值为. 22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为. （1）写出的一个参数方程; （2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： （1）的参数方程为（为参数） （2）的方程为 ①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为， 此时圆心到直线的距离为， 化简得， 两边平方有，所以. 代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为 或. 23.已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围. 答案： 见解析 解析： 当时，， 当时，不等式，解得； 当时，不等式，解得； 当时，不等式，解得. 综上，原不等式的解集为. （2）若，即， 因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.