2012年高考数学真题（理科）（四川自主命题）.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 第一部分 （选择题 共60分） 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、的展开式中的系数是（ ） A、 B、 C、 D、 2、复数（ ） A、 B、 C、 D、 3、函数在处的极限是（ ） A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于 4、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、，则（ ） A、 B、 C、 D、 5、函数的图象可能是（ ） A B C D 6、下列命题正确的是（ ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A、 B、 C、 D、且 8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ） A、 B、 C、 D、 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ） A、 B、 C、 D、 11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 12、设函数，是公差为的等差数列，，则（ ） A、 B、 C、 D、 第二部分 （非选择题 共90分） 注意事项： （1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、设全集，集合，，则___________。 14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。 15、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。 16、记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题： ①当时，数列的前3项依次为5,3,2； ②对数列都存在正整数，当时总有； ③当时，； ④对某个正整数，若，则。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） 三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。 （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； （Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。 18、(本小题满分12分) 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。 （Ⅰ）求的值及函数的值域； （Ⅱ）若，且，求的值。 19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，平面平面。 （Ⅰ）求直线与平面所成角的大小； （Ⅱ）求二面角的大小。 20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。 （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。 21、(本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。 （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。 22、(本小题满分14分) 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。 （Ⅰ）用和表示； （Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值； （Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。 参考答案 一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C 7. C 8. B 9. C 10. A 11. B 12. D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 13. 14. 15. 3 16. ①③④ 三、解答题 17. 本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。 解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件，那么 解得…………………………………………………………………………4分 （II）由题意， 所以，随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 故随机变量的数学期望： …………………………..12分 18．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。 解：（I）由已知可得， 又正三角形的高为，从而 所以函数的周期，即 函数的值域为………………………………………………..6分 （II）因为，由（I）有 ，即 由，知 所以 故 ……………………………………………………………………………………12分 19. 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一： （I）设的中点为，的中点为，连接， 由已知，为等边三角形， 所以 又平面平面，平面平面， 所以平面 所以为直线与平面所成的角 不妨设，则 在中， 所以，在中， 故直线与平面所成的角的大小为………………………….6分 （II）过作于，连接 由已知可得，平面 根据三垂线定理知， 所以为二面角的平面角 由（I）知， 在中， 故二面角的大小为…………………………………………12分 解法二： （I）设AB的中点为D，作于点，连结CD 因为平面平面，平面平面=， 所以平面 所以 由，知 设E为AC中点，则，从而 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，由已知可得， 所以 所以，而为平面的一个法向量 设为直线与平面所成的角， 则 故直线与平面所成的角的大小为…………………………….6分 （II）由（I）有， 设平面的一个法向量为，则 从而 取，则，所以 设二面角的平面角为，易知为锐角 而面的一个法向量为，则 故二面角的大小为………………………………………….12分 20. 本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想 解： （I）取，得 ① 取，得 ② 由②①，得 ③ （1）若，由①知 （2）若，由③知 ④ 由①、④解得，；或 综上可得，；或；或……5分 （II）当时，由（I）知 当时，有， 所以，即， 所以 令，则 所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而 当时，， 故时，取得最大值，且的最大值为 ……………………………………….12分 21. 本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。 解： （I）设M的坐标为，显然有，且 当时，点的坐标为 当时，，由，有 ，即 化简可得， 而点在曲线上 综上可知，轨迹的方程为…………………………………5分 （II）由消去，可得 （*） 由题意，方程（*）有两根且均在内，设 所以 解得，，且 设的坐标分别为，由有 所以 由，且，有 且 所以的取值范围是………………………………………..12分 22. 本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。 解： （I）由已知得，交点的坐标为，对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，即，则……………3分 （II）由（I）知，则成立的充要条件是 即知，对所有成立，特别地，取得到 当，时， 当时，显然 故时，对所有自然数都成立 所以满足条件的的最小值为…………………………………………………..8分 （III）由（I）知，则 下面证明： 首先证明：当时， 设函数 则 当时，；当时， 故在区间上的最小值 所以，当时，，即得 由知，因此，从而 …………………………………………………14分