2023年高考数学真题（北京自主命题）（原卷版）.docx

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. C. B. D. 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数（ ） A. C. 3. 已知向量 满足 B. D. ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A B. C. D. 5. 的展开式中 的系数为（ ）． A. 6. 已知抛物线 A. 7 7. 在中， B. 的焦点为，点在 B. 6 C. 40 上．若到直线 C. 5 ，则 （ D. 80 的距离为 5，则（ ） D. 4 ） A. B. C. D. 8. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正 切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列 满足，则（ ） A. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 B. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 C. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 D. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11. 已知函数 ，则 ． 12. 已知双曲线 C 的焦点为和，离心率为，则 C 的方程为 ． 13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明 p 为假命题的一组的值为 ， ． 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”． 已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 ，则 ；数列 所有项的和为 ． 15. 设，函数 ，给出下列四个结论： ① 区间上单调递减； ②当时，存 最大值； ③设，则； ④设 ．若 存在最小值，则 a 的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1） 求证：平面 PAB； （2） 求二面角的大小． 17 设函数． （1） 若 ，求的值． （2） 已知 在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求 值． 条件①： ； 条件②： ； 条件③：在区间 上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 时段 价格变化 第 1 天到第 20 天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第 21 天到第 40 天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 用频率估计概率． （1） 试估计该农产品价格“上涨”的概率； （2） 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率； （3） 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌” 和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的离心率为，A、C 分别是 E 的上、下顶点，B，D 分别是 的左、右顶点，． （1）求 的方程； （2）设 证： 为第一象限内 E 上的动点，直线 ． 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求 20. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ． （1） 求的值； （2） 设函数，求的单调区间； （3） 求 的极值点个数． 21. 已知数列 的项数均为 m ，且 的前 n 项和分别为 ，并规定．对于，定义，其中， 表示数集 M 中最大的数. （1） 若，求的值； （2） 若，且，求； （3） 证明：存在 ，满足 使得 ．