2008年高考数学真题（文科）（北京自主命题）.doc

绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题　共40分） 注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。 一、本大题共8小题，第小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A={x|-2≤x≤3}≤3, B={x|x<-1或x>4}, 则集合A∩B等于 （A）{x|x≤3或x>4} （B）{x|－1<x≤3} （C）{x|3≤x<4} (D) {x|－2≤x<-1} （2）若a=log3π, b=log76，c=log20.8, 则 （A）a>b>c （B）b>a>c （C）c>a>b （D）b>c>a （3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于 （A）135° 　　(B)90° 　(C)45° (D)30° （5）函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为 （A）f --1(x)=1+(x>1) （B）f--1(x)=1-(x>1) （C）f --1(x)=1+(x≥1) （D）f--1(x)=1-(x≥1) x-y+1≥0, （6）若实数x，y满足 x+y≥0,　　则z=x+2y的最小值是 x≤0, (A)0 (B) 　(C) 1 (D)2 （7）已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于 (A)30 （B）45 (C)90 　(D)186 （8）如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是 绝密★使用完毕前 2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共110分） 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 二 　　　　　　　　　　　　三 总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 (9)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan 2a的值为　　　　　. (10)不等式的解集是　　　　. (11)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜= |b| = 4,那么a·b的值为　　　　. (12)若展开式中常数项为 ；各项系数之和为　　　　　　.（用数字作答） (13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC, 其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数f′（1）= . (14)已知函数f(x)=x2- cos x, 对于［－］上的任意x1,x2,有如下条件： ① x1>x2;  ②x21>x22; ③|x1|>x2. 其中能使f(x1)> f(x2)恒成立的条件序号是　　　　　　. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分） 已知函数的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围. （16）（本小题共14分） 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB； （Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小. （17）（本小题共13分） 已知函数是奇函数. （Ⅰ）求a,c的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间. （18）（本小题共13分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。 （19）（本小题共14分） 已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l: y=x+2上，且AB∥l. （Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积； （Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程. （20）（本小题共13分） 数列{an}满足 （Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值； （Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m, 当n＞m时总有an＜0. 绝密★考试结束前 2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案 一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）A （3）A （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10）|x|x＜-2| （11）-8 （12）10 32 （13）2 -2 （14）② 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ） = = 因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0， 所以 解得ω=1. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 因为0≤x≤， 所以≤≤ 所以≤sin≤1. 因此0≤≤，即f(x)的取值范围为[0，] （16）（共14分） 解法一： （Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD. ∵AP=BP， ∴PD⊥AB. ∵AC=BC. ∴CD⊥AB. ∵PD∩CD＝D. ∴AB⊥平面PCD. ∵PC平面PCD， ∴PC⊥AB. （Ⅱ）∵AC=BC, AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC， ∴PC⊥BC. 又∠ACB＝90°，即AC⊥BC， 且AC∩PC=C， ∴BC⊥平面PAC 取AP中点E,连接BE,CE ∵AB=BP ∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影， ∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. 在△BCE中，∠BCE=90°, BC=2, BE=， ∴sin∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小为aresin 解法二： （Ⅰ）∵AC=BC, AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC. ∴PC⊥BC. ∵AC∩BC=C, ∴PC⊥平面ABC. ∵AB平面ABC， ∴PC⊥AB. (Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）. 设P（0，0，t）, ∵｜PB｜=｜AB｜＝2， ∴t=2, P(0,0,2). 取AP中点E，连结BE，CE. ∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜, ∴CE⊥AP, BE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. ∵E(0,1,1), ∴cos∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小为arccos （17）（共13分） 解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数， 所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 即f (-x)- 2= -f (x)+2. 又f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. 所以{ 解得a=0，c＝2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2. 所以f′(x)=3x2+3b(b≠0). 当b＜0时，由f′(x)=0得x=± x变化时，f′(x)的变化情况如下表： x (-∞,- ) - (-,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + 所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增. 当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增. （18）（共13分） 解： （Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么 　　　　　　　　　　P（EA）= 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 （Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么 P（E）＝ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P（）=1-P(E)= （19）（共14分） 解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x. 设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2). 由得 所以 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离， 所以 （Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m. 由得 因为A，B在椭圆上， 所以 　　　 设A，B两点坐标分别为（x1, y1），（x2, y2）. 则 　　　 所以 　　　 又因为BC的长等于点（0, m）到直线l的距离，即 所以 　　　 所以当m=-1时，AC边最长.（这时） 此时AB所在直线的方程为y=x-1. (20)（共13分） 解：（Ⅰ）由于且a1=1， 所以当a2= -1时，得, 故 　从而 　（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下： 　由a1=1，得 　　 　 　若存在，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即 　 　解得=3. 于是 　　　　　这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意，{an}都不可能是等差数列. （Ⅲ）记根据题意可知，b1＜0且，即＞2且N*)，这时总存在N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0-1时，bn＜0. 　　　　所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，则，从而当n＞n0 时an＜0；若n0为奇数，则，从而当n＞n0时an＞0. 因此“存在mN*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：no为偶数， 记no=2k(k=1,2, …)，则满足 故的取值范围是4k2+2k (kN*).