2021届上海春考数学卷（答案版）.docx

2021 年上海市春季高考数学试卷 2021.01 一. 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分） 1-8 未收集到 9. 在无穷等比数列{a } 中，lim(a -a ) = 4 ，则a 的取值范围是 n 1 n 2 n®¥ 【解析】(-4, 0) U(0, 4) ，由题意，qÎ(-1, 0) U(0,1) ，∴lima = 0， n n®¥ ∴lim(a -a ) = a = 4 ，∴a = a q = 4qÎ (-4, 0) U(0, 4) 1 n 1 2 1 n®¥ 10. 某人某天需要运动总时长大于等于60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问 有几种运动方式组合 A 运动 B 运动 8 点-9 点 9 点-10 点 10 点-11 点 11 点-12 点 20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟 C 运动 D 运动 E 运动 7 点-8 点 30 分钟 【解析】23，由题意，至少要选2 种运动，并且选2 种运动的情况中，AB、DB、EB 的组 合是不符题意的，∴C5 +C5 +C5 +C5 -3 = 23 5 4 3 2 y 2 11. 已知椭圆 x 2 + =1（0 < b <1）的左、右焦点为F 、F ，以O 为顶点，F 为焦点作 2 1 2 2 b 抛物线交椭圆于P，且ÐPFF = 45°，则抛物线的准线方程是 1 2 【解析】x =1- 2 ，设F (-c,0) ，F (c,0) ，则抛物线 y 2 = 4cx，直线PF1 : y = x+c ， 1 2 ì = 4cx 2 y 联立í îy = x+ c ，∴P(c,2c) ，∴PF ^ FF ，PF = F F = 2c ，PF = 2 2c， 2 1 2 2 1 2 1 ∴PF + PF = (2 + 2 2)c = 2a = 2 Þ c = 2 -1，即准线方程为x = -c =1- 2 1 2 3 12. 已知q > 0 ，对任意 nÎN* ，总存在实数j ，使得cos(nq +j) < ，则q 的最小值是 2 2p 【解析】 ，在单位圆中分析，由题意，nq +j 的终边要落在图中阴影部分区域（其中 5 p p 2p q ÐAOx = ÐBOx = ），∴q > ÐAOB = ，∵对任意nÎN* 要成立，∴ ÎN* ， 6 3 2p 即q = ， p 2p k ÎN* ，同时q > ，∴q 的最小值为 k 3 5 二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分） 13-14 未收集到 15. 已知函数y = f (x) 的定义域为R ，下列是 f (x) 无最大值的充分条件是（ ） A. f (x) 为偶函数且关于直线x =1对称 C. f (x) 为奇函数且关于直线x =1对称 B. f (x) 为偶函数且关于点(1,1) 对称 D. f (x) 为奇函数且关于点(1,1) 对称 【解析】选D，反例如图所示. 选项D，易得 f (n) = n ，nÎ Z 16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得 u uur uur uur uur uur AB×CE = 0；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥(CB +CA) ；成立的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【解析】选B，不妨设A(2x,2y) ，B(-1, 0) ，C(1, 0) ，D(0,0) ，E(x, y)， u uur uur u uur uur ① AB = (-1-2x,-2y) ，CE = (x -1, y) ，若AB×CE = 0，∴ -(2x +1)(x -1) -2y = 0 ， 2 ∴-(2x+1)(x -1) = 2y2 ，满足条件的(x, y) 明显存在，∴①成立； uur uur uuur ②F 为AB 中点，(CB +CA) = 2CF ，CF 与AD交点即重心G ， uur uuur ∵G 为AD三等分点，E 为AD中点，∴CE 与CG 不共线， 即②不成立；故选B 三. 解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18=76 分） 17. 四棱锥P - ABCD ，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB中点，PE ^平面ABCD . （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P - ABCD 的体积； （2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°， 求PD 与AC 所成角的大小. 【解析】（1）∵正方形ABCD 边长为4， △PAB为等边三角形，E 为AB中点，∴PE = 2 3 ， 1 32 3 3 VP-ABCD = ´ 4 2 ´2 3 = ； 3 （2）如图建系，P(0, 0, 4) ，D(-2, 4,0) ，A(-2,0,0)， uuur uuur C(2, 4, 0) ，∴PD = (-2, 4,-4) ，AC = (4, 4, 0) ， uuur uuur PD× AC 8 2 ∴cosq = uuur uuur = = ， | PD| | AC | 6´4 2 × 6 2 即PD 与AC 所成角的大小为arccos 6 1 4 18. 已知A、B、C 为△ABC 的三个内角，a 、b、c 是其三条边，a = 2，cosC = - （1）若sin A = 2sin B，求b、c ； . p 4 （2）cos(A- ) = ，求c . 4 5 2 2 +1 2 -c 2 1 【解析】（1）sin A = 2sin B Þ a = 2b，∴b =1，cosC = = - Þ c = 6 ； 2´2´1 4 p 4 7 2 10 2 1 15 4 （2）cos(A- ) = Þ cos A = ，∴sin A = ，∵cosC = - Þ sinC = ， 4 5 10 4 2 c 5 30 由正弦定理， = Þ c = sin A sinC 2 19.（1）团队在O 点西侧、东侧20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足 | PA| -| PB |= 20 千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正 半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程 和P点坐标. （2）团队又在南侧、北侧15 千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现| QA| -| QB |= 30 千 米，| QC | -| QD |=10 千米，求| OQ |（精确到1 米）和Q 点位置（精确到1 米，1°） x 2 y 2 【解析】（1）a =10 ，c = 20，∴b 2 = 300 ，双曲线为 - =1； 100 300 3 15 2 5 6 直线OP: y = x ，联立双曲线，得P( , )； 3 2 2 x 2 y 2 （2）①| QA| -| QB |= 30 ，a =15 ，c = 20，∴b 2 =175 ，双曲线为 - =1； 225 175 y 2 x 2 ② | QC | -| QD |=10 ，a = 5 ，c =15 ，∴b 2 = 200，双曲线为 - =1； 25 200 14400 2975 联立双曲线，得Q( , ) ，∴OQ »19米，Q 点位置北偏东66° 47 47 20. 已知函数 f (x) = | x+ a | -a - x . （1）若a =1，求函数的定义域； （2）若a ¹ 0，若 f (ax) = a 有2 个不同实数根，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数 f (x) 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 【解析】（1） f (x) = | x +1| -1 - x，∴| x +1| -1³ 0 ，解得xÎ(-¥,-2]U[0,+¥) ； （2） f (x) = | x+ a | -a = x +a，设x + a = t ³ 0 ，∴ t -a = t 有2 个不同实数根， 1 ∴整理得a = t -t2 ，t ³ 0 ，同时a ¹ 0，∴aÎ(0, ) ； 4 1 1 1 （3）当x ³ -a ， f (x) = | x+ a | -a - x = x - x = -( x - ) + ，在[ ,+¥) 递减， 2 2 4 4 1 1 此时需满足-a ³ ，即a £ - 时，函数 f (x) 在[-a,+¥)上递减； 4 4 当x < -a ， f (x) = | x+ a | -a - x = -x -2a - x ，在(-¥,-2a]上递减， 1 1 ∵a £ - < 0 ，∴-2a > -a > 0 ，即当a £ - 时，函数 f (x) 在(-¥,-a) 上递减； 4 4 1 综上，当a £ - 时，函数 f (x) 在定义域R 上连续，且单调递减 4 21. 已知数列{a } 满足a ³ 0，对任意n ³ 2 ，a 和a 中存在一项使其为另一项与a 的 n n n n+1 n-1 等差中项 （1）已知a = 5 ，a = 3，a = 2 ，求a 的所有可能取值； 1 2 4 3 （2）已知a = a = a = 0 ，a 、a 、a 为正数，求证：a 、a 、a 成等比数列， 1 4 7 2 5 8 2 5 8 并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3 项为0，即a = a = a = 0 ，2 < r < s < t ，且a =1，a = 2 ， r s t 1 2 求a + a + a 的最大值. r+1 s+1 t+1 【解析】（1）由题意，2a = a +a 或2a = a + a ， n n+1 n-1 n+1 n n-1 ∴2a = a + a Þ a =1，2a = a + a Þ a = 4，经检验，a =1 2 3 1 3 3 2 1 3 3 a a （2）∵a = a = a = 0 ，∴a = 2a ，或a = 2 ，经检验，a3 = 2 ； 1 4 7 3 2 3 2 2 a3 2 a a a ∴a5 = ∴a6 = ∴a8 = = = = 2 ，或a = -a = - 2 （舍），∴a5 = 2 ； 5 3 4 2 4 a5 2 a a a 2 ，或a = -a = - 2 （舍），∴a6 = 2 ； 6 5 8 4 8 a6 2 a a a2 ； 2 ，或a = -a = - 2 （舍），∴a8 = 8 6 16 8 16 1 综上，a 、a 、a 成等比数列，公比为 ； 2 5 8 4 a - a a -a = - 1 ， （3）由2a = a +a 或2a = a + a ，可知 n + 2 n+1 =1或 n+2 n+1 an+1 -an n n+1 n-1 n+1 n n-1 -an an+1 2 由第（2）问可知，ar = 0 Þ ar-2 = 2a Þ a -a = -a ， r-1 r-1 r-2 r-1 1 = - 1 1 1 1 1 i 2 ∴ar = 0 Þ ar+1 = 2 ar-1 (ar-1 -ar-2 ) = - × - ×1r- - ( ) i × 3 i (a a ) = - ×(- ) ，iÎN* ， - 2 1 2 2 2 2 1 ∴(a ) = ， r+1 max 4 1 1 1 1 2 1 j 1 同理，as+1 = - × - ( ) j ×1s- - - ×(a 2 r j -ar ) = - × - ( ) × ， jÎN* ，∴(as+1)max = ， r+1 2 2 2 4 16 1 21 64 同理，(at+1)max = ，∴a + a + a 的最大值为 r+1 s+1 t+1 64