2006年上海高考理科数学真题及答案.doc

2006年上海高考理科数学真题及答案 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ． 2．已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ． 3．若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ ． 4．计算：＝ ． 5．若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ． 6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ． 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ． 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ． 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． 11．若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是 ． 12．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． A B C D 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A）＝；（B）＋＝； （C）－＝；（D）＋＝． 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． 15．若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有[答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M． O M（，） 16．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题： ①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个； ②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为 （，）的点有且仅有2个； ③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数＝2＋的值域和最小正周期． [解] 18．（本题满分12分） 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ 北 20 10 A B • •C [解] 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． P A B C D O E （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． [解]（1） （2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1） （2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1． （1）求证：数列是等比数列； （2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式； （3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值． [解]（1） （2） （3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数． （1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值； （2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． [解]（1） （2） （3） 2006年上海高考理科数学真题参考答案 1． 解：由，经检验，为所求； 2． 解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：； 3． 解：由互为反函数关系知，过点，代入得：； 4． 解：； 5． 解：已知； 6． 解：已知； 7．解：已知为所求； 8． 解：如图△OAB中， (平方单位)； 9． 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有种方法； 2) 剩下的一套全排列，有种方法； 所以，所求概率为：； 10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方 体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线 面对”，所以共有36个“正交线面对”； 11． 解：作出函数的图象， 如右图所示： 所以，； 12． 解：由＋25＋|－5|≥， 而，等号当且仅当时成立； 且，等号当且仅当时成立； 所以，，等号当且仅当时成立；故； A B C D 13．（A）； （B）； （C）； （D）； 解：由向量定义易得， （C）选项错误；； 14．解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： 1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”； 必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”； 故选（A） 15．解：选（A） 方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是 否为； 方法2：求出不等式的解集： ≤＋4； 16．解：选（D） ① 正确，此点为点； ② 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另 一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距 离为（或）； ③ 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线 相距为的两条平行线的交点； 17．[解] ∴ 函数的值域是,最小正周期是； 18．[解] 连接BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10. ∵, ∴sin∠ACB=, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. 19． [解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 ∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2. ∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2. （2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、 OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、 D、P的坐标分别是A(0,－,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ). E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,). 设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos, ∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos； 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF. 由E是PB的中点,得EF∥PA， ∴∠FED是异面直线DE与PA所成 角(或它的补角)， 在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP， 于是, 在等腰Rt△POA中， PA=，则EF=. 在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=， cos∠FED== ∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos. 20．[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 又 ∵ ， ∴， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3, 直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上； 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6， 或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线 AB过点(－1,0),而不过点(3,0). 21．(1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则=a； 2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,…,2k). （3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<； 当n≥k+1时, bn>. 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－) =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk) ==. 当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立. 22．[解]（1）函数y=x+(x>0)的最小值是2，则2=6, ∴b=log29. (2) 设0<x1<x2,y2－y1=. 当<x1<x2时, y2>y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数； 当0<x1<x2<时y2<y1, 函数y=在(0,]上是减函数. 又y=是偶函数，于是， 该函数在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数； (3) 可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数； F(x)=+ = 因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n； 当x=1时F(x)取得最小值2n+1；