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2021年高考数学真题(理科)(全国乙卷)(原卷版).docx
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2021 年高 数学 理科 全国 原卷版
2021年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学乙卷 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=( ). A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( ) A.∅ B.S C.T D.Z 3.已知命题p:∃x∈R,sinx<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬(pVq) 4.设函数f(x)=1−x1+x,则下列函数中为奇函数的是( ) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( ) A.π2 B. π3 C. π4 D. π6 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( ) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图像,则f(x)=( ) A.sin(x2−7π12) B. sin(x2+π12) C. sin(2x−7π12) D. sin(2x+π12) 8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74的概率为( ) A. 74 B. 2332 C. 932 D. 29 9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海盗的高。如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=( ). A:表高×表距表目距的差+表高 B:表高×表距表目距的差−表高 C:表高×表距表目距的差+表距 D:表高×表距表目距的差−表距 10.设a≠0,若x=a为函数fx=ax−a2x−b的极大值点,则( ). A:a<b B:a>b C:ab<a2 D:ab>a2 11.设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足PB≤2b,则C的离心率的取值范围是( ). A:22,1 B:12,1 C:0,22 D:0,12 12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04−1,则( ). A:a<b<c B:b<c<a C:b<a<c D:c<a<b 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知双曲线C:x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为 . 14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= 。 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b= . 16.以图①为正视图和俯视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可). 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分) 某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s12和s22 (1) 求x,y, s12,s22; (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x≥2s12+s222,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高). 18.(12分) 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM, (1) 求BC; (2) 求二面角A-PM-B的正弦值。 19.(12分) 记S n为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项和,已知2Sn+1bn=2. (1) 证明:数列{bn}是等差数列; (2) 求{an}的通项公式. 20.(12分) 设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。 (1) 求a; (2) 设函数g(x)=x+f(x)xf(x),证明:g(x)<1. 21.(12 分) 己知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求ΔPAB的最大值. (二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4一4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程;的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线, 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条直线的极坐标方程. 23.[选修4一5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集; (2)若f(x)≥ —a ,求a的取值范围.

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