2005年重庆高考理科数学真题及答案.doc

2005年重庆高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B．－ C． D．－ 3．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是 （ ） A． B． C．D．（－2，2） 4．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为 （ ） A． B． C． D．－ 5．若x，y是正数，则的最小值是 （ ） A．3 B． C．4 D． 6．已知、均为锐角，若的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//， 其中，可以判定与平行的条件有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 （ ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ） A． B． C． D．2 10．如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱 AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使 AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为 三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱 锥O—BCD的体积等于 （ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合R| ，则= . 12．曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= . 13．已知、均为锐角，且= . 14．= . 15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分） 若函数的最大值为2，试确定常数a的值. 18．（本小题满分13分） 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率； （Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望. 19．（本小题满分13分） 已知，讨论函数的极值点的个数. 20．（本小题满分13分） 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求： （Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离； （Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值. 21．（本小题满分12分） 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程； （Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围. 22．（本小题满分12分） 数列{an}满足. （Ⅰ）用数学归纳法证明：； （Ⅱ）已知不等式，其中无理数 e=2.71828…. 参考答案 一、选择题：每小题5分，满分50分. 1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11． 12． 13．1 14．－3 15． 16．②③⑤ 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分） 18．（本小题13分） 解法一： （Ⅰ），即该顾客中奖的概率为. （Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）. 0 10 20 50 60 P 故有分布列： 从而期望 解法二： （Ⅰ） （Ⅱ）的分布列求法同解法一 由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16（元）. 19．（本小题13分） （1）当 x x1 + 0 － 0 + 为极大值 为极小值 即此时有两个极值点. （2）当有两个相同的实根 于是 无极值. （3） 答（20）图1 为增函数，此时无极值. 因此当无极值点. 20．（本小题13分） 解法一： （Ⅰ）因AB⊥面BB1C1C，故AB⊥BE. 又EB1⊥EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB. 由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是异面直线 AB与EB1的公垂线， 在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=， 作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC· 在△BEB1中，由面积关系得. （负根舍去） 解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去. 因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1. （Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内， 又已知AE⊥EB1 故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角. 因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故 解法二： （Ⅰ） 而BB1C1C得AB⊥EB1从而=0. 设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在Rt△BEB1中，EO=BB1=OB1=1， 因为在△OB1C1中，B1C1=1，∠OB1C1=，故△OB1C1是正三角形， 所以OC1=OB1=1， 又因∠OC1E=∠B1C1C－∠B1C1O=故△OC1E是正三角形， 所以C1E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1， 即异面直线AB与EB1的距离是1. （Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=， BE=1，得tanAEB=. 又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C， 故二面角A—EB1—A1的平面角，故 解法三： （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=， 在三棱柱ABC—A1B1C1中有 B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0）， 设 又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线， 则，故异面直线AB、EB1的距离为1. （II）由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量 的夹角. 21．（本小题12分） 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则 故C2的方程为 （II）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ① . 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ② 解此不等式得 ③ 由①、②、③得 故k的取值范围为 22．（本小题12分） （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立. （2）假设当时不等式成立，即 那么. 这就是说，当时不等式成立. 根据（1）、（2）可知：成立. （Ⅱ）证法一： 由递推公式及（Ⅰ）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得 即 （Ⅱ）证法二： 由数学归纳法易证成立，故 令 取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因 故成立.