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2007年辽宁高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ） A． B． C． D． 3．角为（ ） A．0 B． C． D． 4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．63 B．45 C．36 D．27 5．若，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ） A． B． C． D． 7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 10．设是两个命题：，则是的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ） A．0是的极大值，也是的极大值 B．0是的极小值，也是的极小值 C．0是的极大值，但不是的极值 D．0是的极小值，但不是的极值 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．已知函数在点处连续，则 ． 14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= ． 15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数（其中） （I）求函数的值域； （II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间． 18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为． （I）证明：； （II）求的长，并求点到平面的距离． 19．（本小题满分12分） 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格与产量的函数关系式 好 0.4 中 0.4 差 0.2 设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润． （I）分别求利润与产量的函数关系式； （II）当产量确定时，求期望； （III）试问产量取何值时，取得最大值． 20．（本小题满分14分） 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心） （I）求圆的方程； （II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值． 21．（本小题满分12分） 已知数列，与函数，，满足条件： ，. （I）若，，，存在，求的取值范围； （II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）． 22．（本小题满分12分） 已知函数，． （I）证明：当时，在上是增函数； （II）对于给定的闭区间，试说明存在实数 ，当时，在闭区间上是减函数； （III）证明：． 参考答案 一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 1．C　　2．A　　3．C　　4．D　　5．B　　6．B 7．C　　8．A　　9．D　 10．D　 11．A　 12．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。 13．1 14．72 15．4n 16．2 三、解答题 17．（本小题满分12分） 本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分。 （Ⅰ）解： 分组 [500，900］ [900，1100） [1100，1300） [1300，1500） [1500，1700） [1700，1900） [1900，） 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ……4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500小时的频率为0.6.……8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得 。 所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分 18．（本小题满分12分） 本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。 （Ⅰ）证明：连结CD， ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱。 ∴CC1⊥平面ABC， ∴CD为C1D在平面ABC内的射影， ∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。 ∴AB⊥CD， ∴AB⊥C1D， ∵A1B1∥AB， ∴A1B1⊥C1D。 （Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF. ∵D、E分别为AB、BC的中点。 ∴DE∥AC。 又∵AF∥CE，CE⊥AC， ∴AF⊥DE。 ∵MA⊥平面ABC， ∴AF为MF在平面ABC内的射影。 ∴MF⊥DE， ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。 在Rt△MAF中，AF＝, ∴AM= 作AC⊥MF，垂足为G。 ∵MF⊥DE,AF⊥DE, ∴DE⊥平面AMF, ∴平面MDE⊥平面AMF. ∴AG⊥平面MDE 在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=, ∴AG=,即A到平面MDE的距离为。 ∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE, ∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。 解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF， ∵D、E分别为AB、CB的中点， DE∥AC, 又∵AF∥CE,CE⊥AC, ∴AF⊥DE, ∵MA⊥平面ABC, ∴AF为MF在平面ABC内的射影， ∴MF⊥DE, ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。 在Rt△MAF中，AF=BC=, ∴AM=.……8分 设C到平面MDE的距离为h。 ∵, ∴, , , ， ∴h=，即C到平面MDE的距离为。……12分 19．（本小题满分12分） 本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力。满分12分。 （Ⅰ）解： 由-1≤≤1，得-3≤≤1。 可知函数的值域为［-3,1］ （Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周其为w，又由w＞0，得，即得w=2。 于是有，再由，解得 。 所以的单调增区间为［］ 20．（本小题满分12分） 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。 （Ⅰ）解：由题设得，即 易知{Cn}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，通项公式为 Cn=2n+1 （Ⅱ）解：由题设得，令，则 。 易知{d}是首项，公比为的等比数列，通项公式为 d＝……8分 由于解得 a＝。……10分 求和得 。……12分 21．（本小题满分14分） 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。 （Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知 ， 解得， 所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。 设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为 解法二：设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知 又因为，可得，即 。 由，可知x1＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上， 设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为 。……4分 （Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则 ……8分 在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得 所以由此可得 故的最大值为，最小值为—8。 22．（本小题满分12分） 本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力以及综合运用基本关系解决问题的能力。满分12分。 解（I）由题设得 得： 即有： 由上式得，即又，故得： （II）解：由题设知，对任意的m∈[-26，6]恒有 则有 解得：