2022年北京市高考数学试题（原卷版）.docx

绝密★本科目考试启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则∁∪A=（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 3. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 己知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 5 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 6. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ） A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 8. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 9. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是_________． 12. 已知双曲线渐近线方程为，则__________． 13. 若函数的一个零点为，则________；________． 14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 15. 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：985，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上单调性； （3）证明：对任意的，有． 21. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． （1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； （3）若为连续可表数列，且，求证：．